1.对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中为真命题的是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
[答案] B
[解析] a·b＝0?a⊥b，故A错；a2＝b2?|a|＝|b|，得不出a＝±b，不要与实数x、y满足|x|＝|y|?x＝±y混淆，故C错；a·b＝a·c?a·(b－c)＝0，同A知D错，故选B.
2．(文)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝( )
A．2 B.
C. D.
[答案] D
[解析] ∵＝＋＝＋，
∴·＝(＋)·＝·＋·，
又∵AB⊥AD，∴·＝0，
∴·＝·＝||·||·cos∠ADB
＝||·cos∠ADB＝·||＝.
(理)(2012·新疆维吾尔自治区检测)已知A、B、C是圆O：x2＋y2＝r2上三点，且＋＝，则·等于( )
A．0 B.
C. D．－
[答案] A
[解析] ∵A、B、C是⊙O上三点，∴||＝||＝||＝r (r>0)，
∵＋＝，∴·＝(－)·(＋)＝||2－||2＝0，故选A.
3．(文)(2012·山西大同调研)设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a，b的夹角为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
[答案] B
[解析] 设|a|＝m(m>0)，a，b的夹角为θ，由题设知(a＋b)2＝c2，即2m2＋2m2cosθ＝m2，得cosθ＝－.又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a，b的夹角为120°，故选B.
(理)(2011·郑州一测)若向量a、b满足|a|＝|b|＝1，(a＋b)·b＝，则向量a、b的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[答案] C
[解析] ∵(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋a·b＝，
∴a·b＝，即|a||b|cos〈a，b〉＝，∴cos〈a，b〉＝，
∴〈a，b〉＝60°，故选C.
4．(文)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的射影数量是( )
A. B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] 向量b在a上的射影数量为l＝＝|b|·cos60°＝1.
(理)(2011·天津宝坻质量调查)已知点A、B、C在圆x2＋y2＝1上，满足2＋＋＝0(其中O为坐标原点)，又||＝||，则向量在向量方向上的射影数量为( )
A．1 B．－1
C. D．－
[答案] C
[解析] 由2＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0得，＝－，即O、B、C三点共线．
又||＝||＝1，故向量在向量方向上的射影数量为||cos＝.
5．(2013·烟台市第一学期检测)已知向量a、b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是( )
A. B.
C. D．π
[答案] A
[解析] 由题意知(a－b)·a＝a2－a·b＝2－a·b＝0，∴a·b＝2.设a与b的夹角为θ，则
cosθ＝＝，∴θ＝，故选A.
6．(文)在△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C所对的边，设向量m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若m⊥n，则∠A的大小为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] m·n＝b(b－c)＋c2－a2
＝c2＋b2－a2－bc＝0，
∴cosA＝＝，∵00)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若＝，·＝48，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝16x D．y2＝4x
[答案] B
[解析] 如图，△ABC为直角三角形，
由抛物线定义及条件知，|AC|＝|AF|＝|FB|＝|AB|，∴∠ABC＝，设|AC|＝t，则|AB|＝2t，∴|BC|＝t，
∴·＝||·||·cos∠ABC
＝2t·t·cos＝3t2＝48，
∴t＝4，∴p＝|DF|＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x，故选B.
13．(2011·日照二模)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·＝( )
A．－ B．－
C. D.
[答案] D
[解析] ·＝||·||·cos∠BAC
＝||·||·＝.
14．(文)( 2011·菏泽模拟)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A、B、C三点共线，则k＝________.
[答案] －
[解析] ∵A、B、C三点共线，∴与共线，
∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2)，
∴－2(4－k)－(－7)·(－2k)＝0，∴k＝－.
(理)若等边三角形A BC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.
[答案] －2
[解析] 以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C三点的坐标分别为(－，0)，(，0)，(0,3)．设M点的坐标为(x，y)，则＝(x，y－3)，＝(，－3)，＝(－，－3)，
又＝＋，即(x，y－3)＝(－，－)，可得M(－，)，所以·＝－2.
15．(2011·宁波十校联考)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若0<α<，－<β<0，且sinβ＝－，求sinα的值．
[解析] (1)由|a－b|＝得，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＝，
∴a·b＝，
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝a·b＝.
(2)由0<α<，－<β<0得0<α－β<π，
∴sin(α－β)＝，由sinβ＝－得cosβ＝，
sinα＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ
＝×＋×＝.
16．(文)(2011·山东青岛二模)设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量m＝(sinA＋sinC，sinB－sinA)，n＝(sinA－sinC，sinB)，且m⊥n.
(1)求角C的大小；
(2)若向量s＝(0，－1)，t＝，试求|s＋t|的取值范围．
[解析] (1)由题意得m·n＝(sin2A－sin2C)＋(sin2B－sinAsinB)＝0，即sin2C＝sin2A＋sin2B－sinAsinB，由正弦定理得c2＝a2＋b2－ab，再由余弦定理得cosC＝＝.
因为0
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