1.(2012·沈阳市二模)在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足x＋y＋＝0(x，y∈R)，则当点P在以A为圆心，||为半径的圆上时，实数x，y应满足关系式为( )
A．4x2＋y2＋2xy＝1 B．4x2＋y2－2xy＝1
C．x2＋4y2－2xy＝1 D．x2＋4y2＋2xy＝1
[答案] D
[解析] ∵x＋y＋＝0，∴＝x＋y，
∵AD＝2AB，∠BAD＝60°，∴BD＝AB，∴||＝||＝||，∴||2＝(x＋y)2＝x2||2＋y2||2＋2xy··＝x2||2＋4y2||2＋2xy·||·||·cos60°＝(x2＋4y2＋2xy)||2，∴x2＋4y2＋2xy＝1，故选D.
2．(2012·河北郑口中学模拟)已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 如图，＋＝＝2，∵＋＋2＝0，∴＋＝0，∴P为AD的中点，
∴所求概率为P＝＝.
3．在△ABC中，(＋)·＝||2，则三角形ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[答案] C
[解析] 由条件知||2＝(＋)·(－)
＝||2－||2，∴AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形．
4．(2012·郑州六校质检)已知a、b为非零向量，m＝a＋tb(t∈R)，若|a|＝1，|b|＝2，当且仅当t＝时，|m|取得最小值，则向量a、b的夹角为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] ∵m＝a＋tb，|a|＝1，|b|＝2，令向量a、b的夹角为θ，∴|m|＝|a＋tb|＝＝＝.
又∵当且仅当t＝时，|m|最小，即＋＝0，
∴cosθ＝－，∴θ＝.故选C.
5．(文)(2011·河南质量调研)直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝9相交于两点M、N，若c2＝a2＋b2，则·(O为坐标原点)等于( )
A．－7 B．－14
C．7 D．14
[答案] A
[解析] 记、的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于＝1，∴cosθ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×()2－1＝－，
∴·＝3×3cos2θ＝－7，选A.
(理)设F1、F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，·的值等于( )
A．0 B．2 C．4 D．－2
[答案] D
[解析] 由题意得c＝＝，
又S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2××F1F2·h (h为F1F2边上的高)，所以当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最大值，此时∠F1PF2＝120°.
所以·＝||·||·cos120°
＝2×2×(－)＝－2.
6．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，且O是△ABC的外心，则 ·＝( )
A．6 B．－6 C．8 D．－8
[答案] D
[解析] ∵AB2＝AC2＋BC2，∴∠ACB为直角，
∵O为△ABC外心，
∴·＝－·＝－(＋)·
＝－||2－·＝－8.
7.
(文)(2011·佛山二检)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则·＝________.
[答案] 1
[解析] 以A为原点，AB所在的直线为x轴，过A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．
由题设条件得A(0,0)、B(2,0)、E(2，)、D(1，)，
∴·＝1.
(理)
(2012·宁夏三市联考)在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则·＝________.
[答案] －
[解析] ·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝－.
8．(2011·河北玉田一中质检)已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间 (－1,1)上是增函数，则t的取值范围为________．
[答案] t≥5
[解析] 由题意知，f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，则f ′(x)＝－3x2＋2x＋t.若f(x)在(－1,1)上是增函数，则f ′(x)≥0在(－1，1)上恒成立?t≥3x2－2x在区间(－1，1)上恒成立，令g(x)＝3x2－2x，由于g(x)的图象是对称轴为x＝、开口向上的抛物线，故要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立，必有t≥g(－1)成立，即t≥5成立．故使f(x)在(－1,1)上是增函数的t的取值范围是t≥5.
9.
如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________．
[答案] －
[解析] 设PC＝x，则0≤x≤3.(＋)·＝2·＝－2x×(3－x)＝2x2－6x＝2(x－)2－，所以(＋)·的最小值为－.
10．已知两个不共线的向量a，b的夹角为θ，且|a|＝3，|b|＝1，x为正实数．
(1)若a＋2b与a－4b垂直，求tanθ；
(2)若θ＝，求|xa－b|的最小值及对应的x值，并指出向量a与xa－b的位置关系．
[解析] (1)由题意得，(a＋2b)·(a－4b)＝0.
即a2－2a·b－8b2＝0，得32－2×3×1×cosθ－8×12＝0，
得cosθ＝，又θ∈(0，π)，故θ∈(0，)，
因此，sinθ＝＝＝，
tanθ＝＝.
(2)|xa－b|＝＝
＝＝，
故当x＝时，|xa－b|取得最小值，
此时，a·(xa－b)＝xa2－a·b＝×9－3×1×cos＝0，故向量a与xa－b垂直.
能力拓展提升
11.(文)已知不共线向量、，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则点(x，y)的轨迹方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
[答案] A
[解析] 由＝λ得，－＝λ(－)，
即＝(1＋λ)－λ.
又2＝x＋y，
∴消去λ得x＋y＝2，故选A.
(理)设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是( )
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
[答案] B
[解析] 由题意F(1,0)，设A(，y0)，
则＝(，y0)，＝(1－，－y0)，
∵·＝－4，
∴(1－)－y＝－4，解得y0＝2或y0＝－2.
∴当y0＝2时，x0＝＝1；
当y0＝－2时，x0＝＝1.
故A(1，±2)．故选B.
12．(2011·北京东直门中学模拟)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且·＝0，则A·ω等于( )
A. B.π
C.π D.π
[答案] C
[解析] 由图可知，T＝4(－)＝π，∴ω＝2.
∵M(，1)在图象上，
∴sin(2×＋φ)＝1，
∵|φ|＝，∴φ＝，∴y＝Asin(2x＋)，
又∵M(，A)，N(，－A)，·＝0，
∴×－A2＝0，∴A＝π，
∴A·ω＝2×π＝π，故选C.
13．(文)△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，向量在方向上的投影为( )
A．－3 B．－
C. D．3
[答案] C
[解析] ∵＋＋＝0，
∴＝，∴||＝||，
又||＝||，∴如图，AB＝AC＝OA＝OB＝OC＝2，∠ACB＝30°，∴在方向上的投影为||·cos30°＝2×＝.
(理)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] B
[解析] 由条件知AB＝2，CD＝1，BC＝，
∴MB＝MC＝，
∴·＝||·||·cos45°＝×2×＝1，
·＝||·||·cos135°
＝×1×＝－，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝－2＋＋1＋2×1＝2，故选B.
14．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)，作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率为________．
[答案]
[解析] ∵PF与圆x2＋y2＝相切，∴OE⊥PF，且OE＝，∵＝(＋)，∴E为PF的中点，又O为F1F2的中点，∴|PF2|＝2|OE|＝a，由双曲线定义知，|PF|＝|PF2|＋2a＝3a，在Rt△PF1F2中，|PF|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴a2＋9a2＝4c2，∴e2＝，
∵e>1，∴e＝.
15.
(文)点D是三角形 ABC内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证：AD⊥BC.
[分析] 要证明AD⊥BC，则只需要证明·＝0，可设＝m，＝c，＝b，将用m，b，c线性表示，然后通过向量的运算解决．
[证明] 设＝c，＝b，＝m，
则＝－＝m－c，＝－＝m－b.
∵AB2＋CD2＝AC2＋BD2，
∴c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，即
c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2，
∴m·(c－b)＝0，即·(－)＝0，
∴·＝0，∴AD⊥BC.
(理)已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F.求证：AF＝AE.
[证明]
如图，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则A(－1,1)，B(0,1)，设E(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(1，－1)，又∥，∴x·(－1)－1×(y－1)＝0，∴x＋y－1＝0 ①.
又||＝||，∴x2＋y2－2＝0 ②.
由①②得或(舍去)，
即E(，)．
设F(x′，1)，由＝(x′，1)和＝(，)共线得x′－＝0，解得x′＝－2－，
∴F(－2－，1)，
∴＝(－1－，0)，＝(，－)，
∴||＝＝1＋＝||，
∴AF＝AE.
16．(文)已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足·＝0，＝－，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
[解析] 设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b>0)，
则＝(a,3)，＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，
由·＝0，得a(x－a)＋3y＝0.①
由＝－得，
(x－a，y)＝－(－x，b－y)＝(x，(y－b))，
∴∴
把a＝－代入①，得－(x＋)＋3y＝0，
整理得y＝x2(x≠0)．
(理)(2011·山东潍坊质检)已知椭圆＋＝1的两个焦点分别为F1和F2，点P为椭圆上的动点，则当∠F1PF2为锐角时，求点P的纵坐标y0的取值范围．
[分析] ∠F1PF2可视为与的夹角，因此可通过·>0建立关于y0的不等式求得y0的取值范围．
[解析] 设P(x0，y0)，由于P点在椭圆上，所以＋＝1，∵·＝||||cos∠F1PF2，
若∠F1PF2为锐角，则cos∠F1PF2>0，
故·>0，而F1(－，0)，F2(，0)，
＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，
所以·＝x－6＋y>0，
又x＝8－4y，因此8－4y＋y－6>0，
解得－0(·<0)来求解，但要注意其中A、P、B三点共线的情况．本题中很容易忽视y0≠0这一限制条件．
1．(2011·江南十校素质测试)已知a、b、c是同一平面内的三个单位向量，它们两两之间的夹角均为120°，且|ka＋b＋c|>1，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0,2)
[答案] C
[解析] 根据|ka＋b＋c|>1可得|ka＋b＋c|2>1，
∴k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2c·b>1，
∴k2－2k>0，k<0或k>2.
2．(2011·浙江理)若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
[答案] [，]
[解析] 平行四边形面积S＝|α||β|sinθ＝，
∵|α|≤1，|β|≤1，
∴sinθ≥，又θ∈[0，π]，∴θ∈[，]．
3．已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F的大小为50 N，F拉着一个重80 N的木块在动摩擦系数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m，问F和摩擦力f所做的功分别为多少？
[分析] 力F作用下物体位移s所做的功W＝|F||s|
cos〈F，s〉．
[解析] 设木块的位移为s，
则F·s＝|F||s|cos30°＝50×20×＝500(J)，
F在竖直方向上的分力的大小为
|F|sin30°＝50×＝25(N)．
所以，摩擦力f的大小为
|f|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，
所以f·s＝|f||s|cos180°
＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
即F，f所做的功分别是500 J，－22 J.
4．求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
[分析] 联想到向量模的坐标表示式，可将与分别视作向量α＝(a，b)，β＝(c，d)的模，于是ac＋bd＝α·β，因此可以运用向量知识探求证明方法．
[证明] 设＝(a，b)，＝(c，d)．
当、至少有一个为零向量时，所证不等式成立；
当、均不是零向量时，设其夹角为α，则有cosα＝＝，
∵|cosα|≤1，∴≤1，
即(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
[点评] 待解决的代数、几何、三角、物理等问题，只要其表达式能用向量运算来表示，就可以考虑使用向量方法去试着解决．
本例中a2＋b2，c2＋d2与向量的模有联系，而ac＋bd与向量的数量积有联系，故可尝试能否设出向量来表示．
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