1.(2011·广东深圳一检)设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn＝( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，所以Sn＝＝，选D.
[点评] 直接检验，S1＝－1，排除B， C；S3＝－1，排除A，故选D.
2．(文)(2011·许昌月考)已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
[答案] A
[解析] an＝－，∵n∈N*，
∴an随n的增大而增大，故选A.
[点评] 上面解答过程利用了反比例函数y＝－的单调性，也可以直接验证an＋1－an>0.
(理)已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对任意n∈N*，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是( )
A．k>0 B． k>－1
C．k>－2 D．k>－3
[答案] D
[解析] 由an＋1>an知道数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋2，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3，故选D.
3．(文)将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( )
A．34950 B．35000 C．35010 D．35050
[答案] A
[解析] 由“第n组有n个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列，前99组数的个数共有＝4950个，故第100组中的第1个数是34950，选A.
(理)已知整数对按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……则第2014个数对是( )
A．(3,61) B．(3,60)
C．(61,3) D．(61,2)
[答案] C
[解析] 根据题中规律知，(1,1)为第1项，(1,2)为第2项，(1,3)为第4项，…，整数对和为n＋1的有n项，由≤2014得n≤62，且n＝63时，＝2016，故第2014个数对是和为64的倒数第3项，即(61,3)．
4．(2012·河北保定模拟)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
[答案] D
[解析] ∵a3a11＝4a7，∴a＝4a7，∴a7＝4，
∴b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.
5．(2011·三亚联考)已知数列{an}的通项公式为an＝log3(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn<－4成立的最小自然数n等于( )
A．83 B．82
C．81 D．80
[答案] C
[解析] ∵an＝log3＝log3n－log3(n＋1)，
∵Sn＝log31－log32＋log32－log33＋…＋log3n－log3(n＋1)＝－log3(n＋1)<－4，解得n>34－1＝80.
6．在数列{an}中，已知an＋1＋an－1＝2an(n∈N＋，n≥2)，若平面上的三个不共线的向量、、，满足＝a1007＋a1008，三点A、B、C共线，且直线不过O点，则S2014等于( )
A．1007 B．1008
C．2014 D．2015
[答案] A
[解析] 由条件知{an}成等差数列，
∵A、B、C共线，∴a1007＋a1008＝1，
∴S2014＝＝1007(a1007＋a1008)＝1007.
7．已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，则a2014＝________.
[答案]
[解析] 由题可知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此数列是以3为周期的周期数列，
∴a2014＝a1＝.
8．(文)(2011·吉林部分中学质量检测)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为________．
[答案] an＝
[解析] 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝－1，所以an＝.
(理)(2011·湖南湘西联考)设关于x的不等式x2－x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
[答案] n2＋n(n∈N*)
[解析] 由x2－x<2nx(n∈N*)得00)．
(2)当n≥2时，∵Sn＝f(Sn－1)＝，
∴＝＝＋1，
又S1＝a1＝1，那么数列{}是首项和公差都为1的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝n，即Sn＝，
∴an＝
即an＝
1．如果f(a＋b)＝f(a)·f(b)(a，b∈R)且f(1)＝2，则＋＋＋…＋等于( )
A．2011 B．2012
C．2013 D．2014
[答案] D
[解析] 令a＝n，b＝1，f(n＋1)＝f(n)·f(1)，
∴＝f(1)＝2，
∴＋＋＋…＋＝2×1007＝2014.
2．已知数列{an}中，a1＝1，且＝＋3(n∈N*)，则a2015＝( )
A．6042 B．6048
C. D.
[答案] C
[解析] ∵－＝3，∴数列是首项为＝1，公差为3的等差数列，∴＝1＋3(n－1)＝3n－2，
∴an＝，∴a2015＝.
3．由1开始的奇数列，按下列方法分组：(1)，(3,5)，(7,9,11)，…，第n组有n个数，则第n组的首项为( )
A．n2－n B．n2－n＋1
C．n2＋n D．n2＋n＋1
[答案] B
[解析] 前n－1组共有1＋2＋…＋(n－1)＝＝个奇数，故第n组的首项为2×＋1＝n2－n＋1.
[点评] 可直接验证，第2组的首项为3，将n＝2代入可知A、C、D都不对，故选B.
4．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么a2014的值是( )
A．2012×2013 B．2013×2014
C．2010×2011 D．2011×2012
[答案] B
[解析] 解法1：a1＝0，a2＝2，a3＝6，a4＝12，考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式，可变形为：
a1＝0×1，a2＝1×2，a3＝2×3，a4＝3×4，
猜想a2014＝2013×2014，故选B.
解法2：an－an－1＝2(n－1)，
an－1－an－2＝2(n－2)，
…
a3－a2＝2×2，
a2－a1＝2×1.
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]．
＝2＝n(n－1)．
∴a2014＝2013×2014.
5．(2012·福建文，11)数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2012等于( )
A． 1006 B．2012
C．503 D．0
[答案] A
[解析] 本题考查了数列求和中的分组求和思想方法．
∵y＝cos的周期T＝＝4，
∴可分四组求和．
a1＋a5＋…＋a2009＝0，
a2＋a6＋…＋a2010＝－2－6－…－2010＝＝－503×1006，
a3＋a7＋…＋a2011＝0，
a4＋a8＋…＋a2012＝4＋8＋…＋2012＝＝503×1008，
∴S2012＝0－503×1006＋0＋503×1008＝503·(－1006＋1008)＝1006.
[点评] 对于不能直接套用已有公式的情形，要注意适当化归或分组，数列求和一般有直套公式型，分组求和型，裂项相消型和错位相减型等．
6．如图所示的程序框图，如果输入值为2015，则输出值为________．
[答案] －5
[解析] 此程序框图计算数列{an}的第n项，并输出，其中a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an依次计算可得数列的项为：1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，故该数列周期为6，又2015＝335×6＋5，∴a2015＝a5＝－5.
7．(2011·浙江文，17)若数列{n(n＋4)()n}中的最大项是第k项，则k＝________.
[答案] 4
[解析] 由题意可列不等式组
即
化简可得解之得≤k≤1＋，
又∵k∈Z，∴k＝4.
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