1.(文)(2012·辽宁文，4)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( )
A．12 B．16
C．20 D．24
[答案] B
[解析] 本题考查等差数列的性质．
由等差数列的性质得，a2＋a10＝a4＋a8＝16，B正确．
[点评] 解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的性质．
(理)(2013·浙江金华一中12月月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S10＝110，则的最小值为( )
A．7 B．8 C. D.
[答案] D
[解析] 由题意知
∴∴Sn＝n2＋n，an＝2n.
∴＝＝＋＋≥＋2＝.等号成立时，＝，∴n＝8，故选D.
2．(文)(2011·福州模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a6＋a7＝18，则S9的值是( )
A．64 B．72
C．54 D．以上都不对
[答案] C
[解析] 由a2＋a6＋a7＝3a1＋12d＝3a5＝18，得a5＝6.
所以S9＝＝9a5＝54.
(理)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为( )
A．12 B．8
C．6 D．4
[答案] B
[解析] 由等差数列性质知，a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8.
∴m＝8.故选B.
3．(2011·西安五校一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a3＋a7＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )
A．8 B．7
C．6 D．9
[答案] C
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，依题意得a3＋a7＝2a5＝－6，∴a5＝－3，∴d＝＝2，∴an＝－11＋(n－1)×2＝2n－13.令an>0得n>6.5，即在数列{an}中，前6项均为负数，自第7项起以后各项均为正数，因此当n＝6时，Sn取最小值，选C.
4．已知不等式x2－2x－3<0的整数解构成等差数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项为( )
A．3 B．－1
C．2 D．3或－1
[答案] D
[解析] 由x2－2x－3<0及x∈Z得x＝0,1,2.
∴a4＝3或－1.故选D.
5．(2012·大纲全国理，5)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{}的前100项和为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用．
∵a5＝5，S5＝15，∴＝15，即a1＝1.
∴d＝＝1，∴an＝n.
∴＝＝－.
则数列{}的前100项的和为：T100＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.
故选A.
[点评] 本题亦可利用等差数列的性质，由S5＝15得5a3＝15，即a3＝3，再进一步求解．
6．(文)在函数y＝f(x)的图象上有点列(xn，yn)，若数列{xn}是等差数列，数列{yn}是等比数列，则函数y＝f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝4x2
C．f(x)＝log3x D．f(x)＝x
[答案] D
[解析] 对于函数f(x)＝x上的点列(xn，yn)，有yn＝xn，由于{xn}是等差数列，所以xn＋1－xn＝d，因此＝＝xn＋1－xn＝d，这是一个与n无关的常数，故{yn}是等比数列．故选D.
[点评] 根据指数与对数运算的性质知真数成等比(各项为正)，其对数成等差，指数成等差时，幂成等比．
(理)已知直线(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第一项与第二项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T2014＝( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 依题意，将(3m＋1)x＋(1－m) y－4＝0化为(x＋y－4)＋m(3x－y)＝0，令，解得，
∴直线(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0过定点(1,3)，
∴a1＝1，a2＝3，公差d＝2，an＝2n－1，
∴bn＝＝(－)，
∴T2014＝×[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝×(1－)＝.故选B.
7．(2011·洛阳部分重点中学教学检测)已知a，b，c是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则的值为________．
[答案] 20
[解析] 依题意得①或②或③由①得a＝b＝c，这与“a，b，c是递减的等差数列”矛盾；由②消去c整理得(a－b)(a＋2b)＝0，又a>b，因此a＝－2b，c＝4b，＝20；由③消去a整理得(c－b)(c＋2b)＝0，又b>c，因此有c＝－2b，a＝4b，＝20.
8．(文)(2011·天津文，11)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*，若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
[答案] 110
[解析] 由题意，设公差为d，则
解得
∴S10＝10a1＋d＝110.
(理)设等差数列{an}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝105，则a11＋a12＋a13＝________.
[答案] 75
[解析] ∵
∴∴
∵d>0，∴
∴a11＋a12＋a13＝3a1＋33d＝75.
9．(文)将正偶数按下表排成5列：
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
2
4
6
8
第2行
16
14
12
10
第3行
18
20
22
24
……
……
28
26
那么2014应该在第________行第________列．
[答案] 252 2
[解析] 通项an＝2n，故2014为第1007项，∵1007＝4×251＋3，
又251为奇数，因此2014应排在第252行，且第252行从右向左排第3个数，即252行第2列．
(理)已知an＝n的各项排列成如图的三角形状：
记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(31,12)＝________.
a1
a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
… … … … … … … … … …
[答案] 912
[解析] 由题意知第1行有1个数，第2行有3个数，……第n行有2n－1个数，故前n行有Sn＝＝n2个数，因此前30行共有S30＝900个数，故第31行的第一个数为901，第12个数为912，
即A(31,12)＝912.
10．(文)(2011·济南模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N＋)在函数f(x)＝3x2－2x的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析] (1)由已知点(n，Sn)(n∈N＋)在函数f(x)＝3x2－2x的图象上，可得Sn＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－3(n－1)2＋2(n－1)＝6n－5，
当n＝1时，a1＝S1＝1也适合上式，∴an＝6n－5.
(2)bn＝＝
＝(－)，
∴Tn＝(－＋－＋…＋－)
＝(1－)＝－.
(理)(2011·重庆文，16)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.
[解析] (1)设等比数列{an}的公比为q，由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1(舍)，∴q＝2，
∴an＝a1·qn－1＝2·2n－1＝2n.
(2)数列bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，
∴Sn＝＋[n×1＋×2]
＝2n＋1＋n2－2.
能力拓展提升
11.(文)已知在等差数列{an}中，对任意n∈N*，都有an>an＋1，且a2，a8是方程x2－12x＋m＝0的两根，且前15项的和S15＝m，则数列{an}的公差是( )
A．－2或－3 B．2或3
C．－2 D．3
[答案] A
[解析] 由2a5＝a2＋a8＝12，得a5＝6，
由S15＝m得a8＝.
又因为a8是方程x2－12x＋m＝0的根，
解之得m＝0，或m＝－45，
则a8＝0，或a8＝－3.
由3d＝a8－a5得d＝－2，或d＝－3.
(理)如表定义函数f(x)：
x
1
2
3
4
5
f(x)
5
4
3
1
2
对于数列{an}，a1＝4，an＝f(an－1)，n＝2,3,4，…，则a2014的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] 本题可通过归纳推理的方法研究数列的规律．由特殊到一般易知a1＝4，a2＝f(a1)＝f(4)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝5，a4＝f(a3)＝f(5)＝2，a5＝f(a4)＝f(2)＝4，…，据此可归纳数列{an}为以4为周期的数列，从而a2014＝a2＝1.
12．(2011·烟台诊断)设等差数列{an}的前n项和为Sn且S15>0，S16<0，则，，…，中最大的是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] ??
∴0S9>S10>…>S15>0>S16，a1>a2>…>a8>0>a9，
∴最大．故选C.
13．(文)(2011·湖北文，9)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3L，下面3节的容积共4L，则第5节的容积为( )
A．1L B.L
C.L D.L
[答案] B
[解析] 设该数列为{an}公差为d，则
即解之得
所以第5节的容积为a5＝a1＋4d＝＋×4＝.
(理)(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学联合模拟)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21＝S4000，O为坐标原点，点P(1，an)，点Q(2011，a2011)，则·等于( )
A．2011 B．－2011
C．0 D．1
[答案] A
[解析] S21＝S4000?a22＋a23＋…＋a4000＝0?a2011＝0，
又P(1，an)，Q(2011，a2011)，则＝(1，an)，＝(2011，a2011)，
∴·＝(1，an)·(2011，a2011)＝2011＋ana2011＝2011，故选A.
14．(文)(2011·哈尔滨六中模拟)若数列{xn}满足xn－xn－1＝d，(n∈N*，n≥2)，其中d为常数，x1＋x2＋…＋x20＝80，则x5＋x16＝________.
[答案] 8
[解析] 由xn－xn－1＝d知{xn}为公差为d的等差数列，
∴x1＋x2＋…＋x20＝80?10(x1＋x20)＝80?x1＋x20＝8，
∴x5＋x16＝x1＋x20＝8.
(理)(2011·莱阳模拟)数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝0，b1＝－4，用Sk、Sk′分别表示等差数列{an}和{bn}的前k项和(k是正整数)，若Sk＋Sk′＝0，则ak＋bk＝________.
[答案] 4
[解析] 由条件知，Sk＋Sk′＝d＋d′－4k＝－4k＝0，
∵k是正整数，∴(k－1)(d＋d′)＝8，
∴ak＋bk＝(k－1)d－4＋(k－1)d′
＝(k－1)(d＋d′)－4＝4.
15．(文)(2011·杭州质量检测)已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n满足2＝an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Bn.
[解析] (1)由2＝an＋1，n＝1代入得a1＝1，
两边平方得4Sn＝(an＋1)2①
①式中n用n－1代替得4Sn－1＝(an－1＋1)2 (n≥2)②
①－②，得4an＝(an＋1)2－(an－1＋1)2,0＝(an－1)2－(an－1＋1)2，
[(an－1)＋(an－1＋1)]· [(an－1)－(an－1＋1)]＝0，
∵{an}是正数数列，∴an－an－1＝2，
所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴an＝2n－1.
(2)bn＝＝
＝，
裂项相消得Bn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝.
(理)(2011·河南郑州质量检测)已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，数列{bn}满足b1＝1，b3＋b7＝18，且bn－1＋bn＋1＝2bn(n≥2)．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解析] (1)由题意Sn＝2－an，①
当n≥2时，S n－1＝2－an－1，②
①－②得an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，
即an＝an－1，又a1＝S1＝2－a1，
∴a1＝1，故数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，所以an＝；
由bn－1＋bn＋1＝2bn(n≥2)知，数列{bn}是等差数列，
设其公差为d，则b5＝(b3＋b7)＝9，
所以d＝＝2，bn＝b1＋(n－1)d＝2n－1.
综上，数列{an}和{bn}的通项公式为
an＝，bn＝2n－1.
(2)cn＝＝(2n－1)·2n－1，
Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，③
2Tn＝1×21＋3×22＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，④
③－④得：－Tn＝1＋2(21＋22＋23＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n
＝1＋2×－(2n－1)·2n＝－(2n－3)·2n－3.
∴Tn＝(2n－3)·2n＋3.
16．(2012·湖北文，20)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．
[分析] (1)利用等差数列的通项公式，及相关关系求出首项和公差．
(2)先确定数列的通项公式，由于首项a1<0需判断从哪一项开始an>0，将{|an|}前n项和写为分段函数的形式．
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，
由题意得
解得或
所以由等差数列通项公式可得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5，或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.
故an＝－3n＋5，或an＝3n－7.
(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；
当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．
故|an|＝|3n－7|＝
记数列{|an|}的前n项和为Sn.
当n＝1时，S1＝|a1|＝4；
当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；
当n≥3时，
Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)
＝5＋＝n2－n＋10.
当n＝2时，满足此式．
综上，Sn＝
1．(2011·郑州一测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 设a1＋a2＋a3＋a4＝A1，a5＋a6＋a7＋a8＝A2，a9＋a10＋a11＋a12＝A3，a13＋a14＋a15＋a16＝A4，∵数列{an}为等差数列，∴A1、A2、A3、A4也成等差数列，＝＝，不妨设A1＝1，则A2＝2，A3＝3，A4＝4，＝＝＝，故选D.
2．(2011·济宁模拟)将正偶数集合{2,4,6…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组，第一组{2,4}，第二组{6,8,10,12}，第三组{14,16,18,20,22,24}，则2010位于第( )组．
A．30 B．31
C．32 D．33
[答案] C
[解析] 因为第n组有2n个正偶数，故前n组共有2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n个正偶数.2010是第1005个正偶数．若n＝31，则n2＋n＝992，而第32组中有偶数64个，992＋64＝1056，故2010在第32组．
3．(2011·黄冈3月质检)设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋a b2＋…＋a b10＝( )
A．1033 B．2057
C．1034 D．2058
[答案] A
[解析] 依题意得an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，bn＝1×2n－1＝2n－1，abn＝bn＋1＝2n－1＋1，因此ab1＋a b2＋…＋a b10＝(20＋1)＋(21＋1)＋…＋(29＋1)＝＋10＝210＋9＝1033，故选A.
4．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是( )
A．i<4? B．i<5?
C．i≥5? D．i<6?
[答案] D
[解析] 由题意知S＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝，故要输出S＝，i＝5时再循环一次，故条件为i≤5或i<6，故选D.
5．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝( )
A．1 B.
C. D.
[答案] C
[解析] 设x2－2x＋m＝0的根为x1、x2且x10，a21<0，故选B.
7．已知函数f(x)＝sinx＋tanx，项数为27的等差数列{an}满足an∈，且公差d≠0.若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0，则当k＝________时，f(ak)＝0.
[答案] 14
[解析] ∵f(x)＝sinx＋tanx为奇函数，且在x＝0处有定义，∴f(0)＝0.
∵{an}为等差数列且d≠0，
∴an(1≤n≤27，n∈N*)对称分布在原点及原点两侧，
∵f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0，∴f(a14)＝0.
∴k＝14.
8．(2011·南京一模)已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为________．
[答案] 4
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，其中q>0，依题意得a＝a2·a4＝4，又a3>0，因此a3＝a1q2＝2，a1＋a2＝a1＋a1q＝12，由此解得q＝，a1＝8，an＝8×()n－1＝24－n，an·an＋1·an＋2＝29－3n.由于2－3＝>，因此要使29－3n>，只要9－3n≥－3，即n≤4，于是满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为4.
9．(2012·东北三校二模)公差不为零的等差数列{an}中，a3＝7，且a2，a4，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设an＝bn＋1－bn，b1＝1，求数列{bn}的通项公式．
[解析] (1)由条件知，
∴
解之得
∴an＝3n－2.
(2)由条件知，b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝1＋a1＋a2＋…＋an－1
＝1＋＝，
∴bn＝.
10．已知等差数列{an}中，公差d>0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(n∈N*)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．
[分析] 第(1)问是求等差数列的通项公式，需要知道首项a1和公差d的值，由条件a2·a3＝45，a1＋a5＝18建立方程组不难求得；第(2)问是构造一个等差数列{bn}，可考虑利用等差数列的定义，研究使bn＋1－bn(n∈N*)为一个常数时需要满足的条件．
[解析] (1)由题设知{an}是等差数列，且公差d>0，
则由得
解得
所以an＝4n－3(n∈N*)．
(2)由bn＝＝＝，
因为c≠0，所以可令c＝－，得到bn＝2n.
因为bn＋1－b n＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，
所以数列{bn}是公差为2的等差数列．
即存在一个非零常数c＝－，使数列{bn}也为等差数列．
11．(2012·东北三省四市第二次联考)已知等差数列{an}满足a4＝6，a6＝10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}各项均为正数，其前n项和Tn，若a3＝b2＋2，T3＝7，求Tn.
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，
∵a4＝6，a6＝10，∴解得
∴数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.
(2)设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q(q>0)．
∵an＝2n－2，∴a3＝2×3－2＝4.
∵a3＝b2＋2，∴b2＝2.
∴
解得或
∴Tn＝＝＝2n－1，
或Tn＝＝8－()n－3.
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