1.(2012·杭州第一次质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则a6＋a7>0是S9≥S3的( )
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] ∵S9≥S3?a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9≥0?3(a6＋a7)≥0?a6＋a7≥0，∴a6＋a7>0?a6＋a7≥0，但a6＋a7≥0?/ a6＋a7>0，故选A.
2．(2011·淄博模拟)已知{an}是递增数列，且对任意n∈N*都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是( )
A．(－，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－3，＋∞)
[答案] C
[解析] an＝n2＋λn＝(n＋)2－，
∵对任意n∈N*，an＋1>an，
∴－≤1，∴λ≥－2，故选 C.
3．(文)设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f ′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] f ′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，
∴f(x)＝x(x＋1)，＝＝－，
∴Sn＝＋＋…＋＝.
(理)(2011·北京西城期末)已知各项均不为零的数列{an}，定义向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N*.则下列命题中为真命题的是( )
A．若对于任意n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差数列
B．若对于任意n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等比数列
C．若对于任意n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差数列
D．若对于任意n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列
[答案] A
[解析] 若对任意n∈N*，有cn∥bn，则＝＝，所以an＋1－an＝an＋2－an＋1，即2an＋1＝an＋an＋2，所以数列{an}为等差数列．
4．(文)(2011·山西运城教学检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，过点P(n，Sn)和Q(n＋1，Sn＋1)(n∈N*)的直线的斜率为3n－2，则a2＋a4＋a5＋a9的值等于( )
A．52 B．40
C．26 D．20
[答案] B
[解析] 由题意得＝3n－2，∴Sn＋1－Sn＝3n－2，即an＋1＝3n－2，∴an＝3n－5，因此数列{an}是等差数列，a5＝10，而a2＋a4＋a5＋a9＝2(a3＋a7)＝4a5＝40，故选B.
(理)两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是2，且aa>0，
∴a＝3，b＝4.∴e＝＝＝.
5．(2011·江西新余四中期末)在△ABC中，＝是角A、B、C成等差数列的( )
A．充分非必要条件 B．充要条件
C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] ＝?2sinAsinC－sin2A＝2cosAcosC＋cos2A?2cos(A＋C)＋1＝0?cosB＝?B＝?A＋C＝2B?A、B、C成等差数列．但当A、B、C成等差数列时，＝不一定成立，如A＝、B＝、C＝.故是充分非必要条件．故选A.
6．(2012·东北三省四市第三次联考)设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Tn，则T2010的值为( )
A．1 B．2
C. D.
[答案] D
[解析] ∵a1＝2，a2＝1－＝，a3＝1－＝－，a4＝1－＝－3， a5＝1－＝2.
∴an＋4＝an，∴{an}是以4为周期的数列，T4＝2××(－)×(－3)＝1.∴T2010＝T2008×a2009×a2010＝，故选D.
7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是( )
A．8 B．9 C．10 D．11
[答案] D
[解析] 由程序框图可知，S＝1＋2＋22＋…＋2k＝2k＋1－1，由S<2014得，2k＋1<2015，∴k≤9.
∵1＋2＋22＋…＋29＝1023，
∴S的值加上29后，变为S＝1023<2014，此时k的值增加1变为k＝10，
再执行一次循环体后，
S＝1023＋210＝2047，k＝10＋1＝11，此时不满足S<2014，输出k的值11后结束．
[点评] 这是最容易出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k取何值时，恰满足S≥2014，又要顾及S与k的赋值语句的先后顺序．
8．(文)已知数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)，把数列{an}的各项排列成如图所示的三角形数阵：
2
22 23
24 25 26
27 28 29 210
……
记M(s，t)表示该数阵中第s行的第t个数，则M(11,2)对应的数是________(用2n的形式表示，n∈N)．
[答案] 257
[解析] 由数阵的排列规律知，第m行的最后一个数是数列{an}的第1＋2＋3＋…＋m＝项，且该行有m项，由此可知第11行的第2个数是数列{an}的第＋2＝57项，对应的数是257.
(理)若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.
[答案] 20
[解析] 由题意，若{an}为调和数列，则{}为等差数列，∵{}为调和数列，∴数列{xn}为等差数列，由等差数列的性质可知，x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝x10＋x11＝＝20.故填20.
9．(文)(2011·江苏镇江市质检)已知1，x1，x2,7成等差数列，1，y1，y2,8成等比数列，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN的中垂线方程是________．
[答案] x＋y－7＝0
[解析] 由条件得x1＝3，x2＝5，y1＝2，y2＝4，
∴MN的中点(4,3)，kMN＝1，∴MN的中垂线方程为y－3＝－(x－4)，即x＋y－7＝0.
(理)已知双曲线an－1y2－anx2＝an－1an(n≥2，n∈N*)的焦点在y轴上，一条渐近线方程是y＝x，其中数列{an}是以4为首项的正项数列，则数列{an}的通项公式是________．
[答案] an＝2n＋1
[解析] 双曲线方程为－＝1，∵焦点在y轴上，又渐近线方程为y＝x，∴＝，
又a1＝4，∴an＝4×2n－1＝2n＋1.
10．(文)(2011·北京海淀)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且Sn＝Sn－1＋2n(n≥2，n∈N*)．
(1)求Sn；
(2)是否存在等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a3，b3＝a9？若存在，则求出数列{bn}的通项公式；若不存在，则说明理由．
[解析] (1)因为Sn＝Sn－1＋2n，
所以有Sn－Sn－1＝2n对n≥2，n∈N*成立．
即an＝2n对n≥2成立．又a1＝S1＝2×1，
所以an＝2n对n∈N*成立．
所以an＋1－an＝2对n∈N*成立．
所以{an}是等差数列．
所以Sn＝n2＋n，n∈N*.
(2)存在．由(1)知an＝2n对n∈N*成立，
则a3＝6，a9＝18.又a1＝2，
所以由b1＝a1，b2＝a3，b3＝a9，得＝＝3.
即存在以b1＝2为首项，公比为3的等比数列{bn}，其通项公式为bn＝2·3n－1.
(理)(2012·天津十二区县联考一)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝a(Sn－an＋1)(a为常数，且a≠0，a≠1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝a＋Sn·an，若数列{bn}为等比数列，求a的值．
(3)在满足条件(2)的情形下，设cn＝－，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：Tn>2n－.
[解析] (1)S1＝a(S1－a1＋1)，∴a1＝a，
当n≥2时，Sn＝a(Sn－an＋1)，
Sn－1＝a(Sn－1－an－1＋1)，
两式相减得an＝a·an－1，＝a，
即{an}是等比数列，∴an＝a·an－1＝an.
(2)由(1)知an＝an，Sn＝，
∴bn＝(an)2＋an
＝，
若{bn}为等比数列，则有b＝b1b3，
而b1＝2a2，b2＝a3(2a＋1)，b3＝a4(2a2＋a＋1)，
故[a3(2a＋1)]2＝2a2·a4(2a2＋a＋1)，
解得a＝，
再将a＝代入，得bn＝()n成立，
所以a＝.
(3)证明：由( 2)知bn＝()n，
所以cn＝－
＝＋＝2－＋，
所以cn>2－＋，
Tn＝c1＋c2＋…＋cn
>(2－＋)＋(2－＋)＋…＋(2－＋)＝2n－＋>2n－.
能力拓展提升
11.在圆x2＋y2＝10x内，过点(5,3)有n条长度成等差数列的弦，最短弦长为数列{an}的首项a1，最长弦长为an，若公差d∈(，]，那么n的取值集合为( )
A．{4,5,6} B．{6,7,8,9}
C．{3,4,5} D．{3,4,5,6}
[答案] A
[解析] ∵圆x2＋y2＝10x，∴(x－5)2＋y2＝5，圆心为(5,0)，半径为5.故最长弦长an＝10，最短弦长a1＝8，∴10＝8＋(n－1)d，∴d＝，
∵d∈(， ]，∴<≤，∴4≤n<7，
又∵n∈N*，∴n的取值为4,5,6，故选A.
12．(文)(2011·安徽百校论坛联考)已知a>0，b>0，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是( )
A．ab＝AG B．ab≥AG
C．ab≤AG D．不能确定
[答案] C
[解析] 由条件知，a＋b＝2A，ab＝G2，∴A＝≥＝G>0，∴AG≥G2，即AG≥ab，故选C.
[点评] 在知识交汇点处命题是常见命题方式，不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用．
(理)已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝(log0.5a5＋log0.5a7)，Q＝log0.5，P与Q的大小关系是( )
A．P≥Q B．PQ
[答案] D
[解析] P＝log0.5＝log0.5，Q＝log0.5，
∵q≠1，∴a3≠a9，∴>
又∵y＝log0.5x在(0，＋∞)上递减，
∴log0.50，∴a5a6＝2，∴＋＝·a5a6·(＋)＝(a5＋a6)≥×2＝，等号在a5＝a6＝时成立．
3．(2011·银川一中三模)已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列{}的前n项和为Sn，则S2012的值为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 本题考查导数的几何意义及数列求和知识；由于f ′(x)＝2x＋b，据题意则有f ′(1)＝2＋b＝3，故b＝1，即f(x)＝x2＋x，从而＝＝－，
其前n项和Sn＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝，故S2012＝.
4．(2012·吉林省实验中学模拟)已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和是100，那么a6·a15的最大值是( )
A．25 B．50
C．100 D．不存在
[答案] A
[解析] 由条件知，a6＋a15＝a1＋a20＝S20＝×100＝10，a6>0，a15>0，∴a6·a15≤()2＝25，等号在a6＝a15＝5时成立，即当an＝5(n∈N*)时，a6·a15取最大值25.
5．(2011·黄冈月考)在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] ∵a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n，
∴a2a1＝a1＋1，∴a2＝2，；
∵a3a2＝a2－1，∴a3＝；
∵a4a3＝a3＋1，∴a4＝3；
∵a5a4＝a4－1，∴a5＝，∴＝.
6．(2012·北京海淀期中)已知数列A：a1，a2，…，an(0≤a10，则有an＋an＝2an>an不是数列中的项，故an－an＝0必为数列中的一项，即a1＝0，得命题③正确；若数列a1，a2，a3(0≤a1a3不是数列中的项，必有a3－a2＝a2，即a3＝2a2，因a1＝0，故a1＋a3＝2a2，得命题④正确，综上可得真命题共有3个，故应选B.
7．(2011·杭州二检)已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1＝2，b1＝1，a2＝b2,2a4＝b3，且存在常数α、β，使得an＝logαbn＋β对每一个正整数n都成立，则αβ＝________.
[答案] 4
[解析] 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则，解得(舍去)或，所以an＝2n，bn＝4n－1.若an＝logαbn＋β对每一个正整数n都成立，则满足2n＝logα4n－1＋β，即2n＝(n－1)logα4＋β，因此只有当α＝2，β＝2时上式恒成立，所以αβ＝4.
8．(2011·天津市二十区县联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，向量a＝(an－1，－2)，b＝(4，Sn)满足a⊥b，则＝________.
[答案]
[解析] ∵a＝(an－1，－2)，b＝(4，Sn)满足a⊥b，
∴a·b＝0，
∴4an－4－2Sn＝0，即Sn＝2an－2，
∴Sn－1＝2an－1－2(n≥2)．
两式相减得an＝2an－1，∴＝2.
由Sn＝2an－2(n∈N*)，得a1＝2.
∴{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2n.
∴＝＝.
9．(2011·苏州检测)正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n组中各数之和为An；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn，则An＋Bn＝________.
[答案] 2n3
[解析] 由题意知，前n组共有1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2个数，所以第n－1组的最后一个数为(n－1)2，第n组的第一个数为(n－1)2＋1，第n组共有2n－1个数，所以根据等差数列的前n项和公式可得
An＝(2n－1)＝[(n－1)2＋n](2n－1)，而Bn＝n3－(n－1)3，
所以An＋Bn＝2n3.
10．已知点是函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，数列{bn}(bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋(n≥2)．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若数列前n项和为Tn，问使Tn>的最小正整数n是多少？
[解析] (1)∵点是函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象上一点，∴f(1)＝a＝.
已知等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，则当n≥2时，an＝[f(n)－c]－[f(n－1)－c]＝an(1－a－1)＝－.
∵{an}是等比数列，∴{an}的公比q＝.
∴a2＝－＝a1q＝[f(1)－c]×，
解得c＝1，a1＝－.
故an＝－(n≥1)．
由题设知{bn}(bn>0)的首项b1＝c＝1，
其前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋(n≥2)，
由Sn－Sn－1＝＋?－＝1，且＝＝1.
∴{}是首项为1，公差为1的等差数列，
即＝n?Sn＝n2.
∵bn＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，
又b1＝1＝2×1－1，
故数列{bn}的通项公式为：bn＝2n－1(n≥1)．
(2)∵bn＝2n－1(n≥1)，
∴＝.
∴Tn＝
＝
＝.
要Tn>?>?n>＝111，
故满足条件的最小正整数n是112.
11．(2011·焦作模拟)已知函数f(x)＝ax的图象过点(1，)，且点(n－1，)(n∈N＋)在函数f(x)＝ax的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝an＋1－an，若数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn<5.
[解析] (1)∵函数f(x)＝ax的图象过点(1，)，
∴a＝，f(x)＝()x.
又点(n－1，)(n∈N＋)在函数f(x)＝ax的图象上，从而＝，即an＝.
(2)由bn＝－＝得，
Sn＝＋＋…＋，
则Sn＝＋＋…＋＋，
两式相减得：Sn＝＋2(＋＋…＋)－，
∴Sn＝5－，∴Sn<5.
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