1.(文)(2012·河北保定模拟)若a>0且a≠1，b>0，则“logab>0”是“(a－1)(b－1)＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] ∵a>0且a≠1，b>0，
∴logab>0?或?(a－1)(b－1)>0.
(理)(2011·马鞍山二中月考)设a，b∈R，现给出下列五个条件：①a＋b＝2；②a＋b>2；③a＋b>－2；④ab>1；⑤logab<0，其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件为( )
A．②③④ B．②③④⑤
C．①②③⑤ D．②⑤
[答案] D
[解析] ①a＋b＝2可能有a＝b＝1；②a＋b>2时，假设a≤1，b≤1，则a＋b≤2矛盾；③a＋b>－2可能a<0，b<0；④ab>1，可能a<0，b<0；⑤logab<0，∴01或a>1,0 B.>
C.> D．|a|>－b
[答案] B
[解析] 取a＝－2，b＝－1，逐一检验即可知选B.
3．(2011·重庆二诊)设00，∴ab>b2，因此A不正确；同理可知C不正确；由函数y＝()x在R上是减函数得，当0()b>()a>()1，即<()a<()b，因此B正确；同理可知D不正确．综上所述，选B.
[点评] 可取特值a＝，b＝检验．
4．(文)(2012·天津文，5)设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 本题考查充要条件，解一元二次不等式的知识．
由2x2＋x－1>0得(x＋1)(2x－1)>0，
即x<－1或x>，又因为x>?2x2＋x－1>0，
而2x2＋x－1>0 x>，选A.
(理)(2011·青岛模拟)已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是[－，－]，则不等式x2－bx－a<0的解集是( )
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C．(，) D．(－∞，)∪(，＋∞)
[答案] A
[解析] 由题意知－、－是方程ax2－bx－1＝0的根，由韦达定理得，－＋(－)＝，－×(－)＝－.
∴a＝－6，b＝5，
不等式x2－bx－a<0即为x2－5x＋6<0，∴2f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞)
B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C． (－1,1)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1,3)
[答案] A
[解析] 由题意知f(1)＝3，故原不等式可化为
或解之得－33，
∴原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.
(理)若关于x的不等式(m－1)x<的解集为{x|0N
C．M＝N D．不确定
[答案] B
[解析] 由题意得M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)>0，故M>N，选B.
(理)已知0N
C．M＝N D．不确定
[答案] B
[解析] ∵00，b>0，
∴M－N＝＋
＝＝>0，
∴M>N.
7．(文)不等式||>的解集为A，不等式|log2x|<2的解集为B，则A∩B＝________.
[答案] {x|，∴<0，
∴－20的解集是________．
[答案] {x|x<－1或x>2}
[解析] 不等式x2－(x＋1)sgnx－1>0化为
或或
∴x>2或x<－1.
10．(2012·山东青岛市检测)已知函数y＝的定义域为R，解关于x的不等式x2－x－a2＋a>0.
[分析] 函数y＝的定义域为R，即f(x)≥0恒成立，ax2＋2ax＋1≥0恒成立，即或，不等式x2－x－a2＋a>0，可利用分组分解因式得，(x－a)(x＋a－1)>0.
[解析] 因为函数y＝的定义域为R，
所以ax2＋2ax＋1≥0恒成立(*)．
当a＝0时，1≥0恒成立，满足题意，
当a≠0时，为满足(*)必有a>0且Δ＝4a2－4a≤0，解得00，
当0≤a<时，解得x1－a；
当a＝时，解得x≠；
当a，
综上，当0≤a<时，不等式的解集为{x|x1－a}，
当a＝时，不等式的解集为{x|x∈R，x≠}，
当a}.
能力拓展提升
11.(文)(2011·四川成都期末)已知a>b>0，且ab＝1，设c＝，P＝logca，N＝logcb，M＝logc(ab)，则有( )
A．Pb>0，且ab＝1，
所以a>1,02＝2，c＝<1，
所以logca0 B．2a－b<
C．2< D．log2a＋log2b<－2
[答案] D
[解析] 当a＝，b＝时A不成立；
对B有2a－b<?2a－b<2－1?a－b<－1，
又a＋b＝1，可得a<0，与a>0矛盾；
对C有2<?2<2－1?＋<－1，与＋>2(∵a≠b，且a>0，b>0)矛盾，故选D.
12．(文)(2011·东营模拟)已知x∈R，A＝(x＋3)(x＋7)，B＝x2＋9x＋20，则A、B的大小关系为( )
A．A>B B．A＝B
C．A1时A>B，当x＝1时A＝B，当x<1时Aa B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
[答案] A
[解析] 解法1：特值法：令a＝0，则b＝1，c＝5，
∴c>b>a，排除B、D；
令c＝b，则a＝2，∴b＝c＝5，也满足b>a，排除C，选A.
解法2：c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，
∴c≥b，已知两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2，
∵1＋a2－a＝2＋>0，
∴1＋a2>a，∴b>a，∴c≥b>a.
13．若关于x的不等式2x2－(2a＋1)x＋a<0的整数解有且仅有1、2，则实数a的取值范围是________．
[答案] (2,3]
[解析] 将不等式变形为：(2x－1)(x－a)<0，
由题设条件知a>，∴0，q>0，前n项和为Sn，比较与的大小，结果为________．
[答案] <
[分析] 可以利用等比数列前n项和公式将两个式子表示出来，再作差进行比较，但应注意对公比的分类讨论．
[解析] 当q＝1时，＝3，＝5，所以<；
当q>0且q≠1时，－＝－＝＝<0，所以有<.
综上可知<.
15．(2011·珠海模拟)已知b>a>0，x>y>0，求证：>.
[解析] ∵x>y>0，∴0<<，
∵b>a>0，∴0<<，∴1<1＋<1＋，
即1<<，∴>.
16．(文)(2011·北京海淀区诊断)已知函数f(x)＝(ax－1)ex，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a的取值范围．
[解析] (1)因为f ′(x)＝(ax＋a－1)ex，
所以当a＝1时，f ′(x)＝xex，令f ′(x)＝0，则x＝0，
所以f(x)，f ′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
f ′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
所以x＝0时，f(x)取得极小值f(0)＝－1.
(2)因为f ′(x)＝(ax＋a－1)ex，函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，
所以f ′(x)≥0对x∈(0,1)恒成立．
又ex>0，所以只要ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立，
解法一：设g(x)＝ax＋a－1，则要使ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立，只要成立，
即解得a≥1.
解法二：要使ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立，
因为x>0，所以a≥对x∈(0,1)恒成立，
因为函数g(x)＝在(0,1)上单调递减，
∴g(x)≤1，∴a≥1.
(理)(2012·沈阳二模)已知函数f(x)＝ax－1－lnx(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，对?x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围；
(3)当00时，由f ′(x)≤0得00时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点．
(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极值，∴a＝1，
∴f(x)≥bx－2?1＋－≥b，
令g(x)＝1＋－，则g′(x)＝－－＝，由g′(x)≥0得x≥e2，
由g′(x)≤0得0h(y)，即>.
当00，∴>，
当e1，
∴a22＝4>3，∴ln2>ln3，故c2，
∴log23<，∴a>c，∴c0，则( )
A．b2>a2>ab B．b2－ab>b2
[答案] D
[解析] 由a＋b<0，b>0，可得a<0,00，b2＋ab＝b(b＋a)<0，可知B错误，D正确．
[点评] 可对a、b取特值检验．
5．设定义域为R的函数f(x)满足下列条件：①对任意x∈R，f(x)＋f(－x)＝0；②对任意x∈[－1,1]，都有>0，且f(－1)＝－1.若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则当a∈[－1,1]时，t的取值范围是( )
A．－2≤t≤2
B．t≤－或t＝0或t≥
C．－≤t≤
D．t≤－2或t＝0或t≥2
[答案] D
[分析] 函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立?在[－1,1]上，f(x)max≤t2－2at＋1，于是由函数的性质可以先求出f(x)max.
[解析] 由题知f(x)是奇函数，在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，所以在 [－1,1]上，f(x)max＝f(1)＝－f(－1)＝1.函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立?t2－2at＋1≥1?t2－2at≥0恒成立．
设g(a)＝t2－2at，a∈[－1,1]，则??t≤－2或t＝0或t≥2.故选D.
6．设A＝log2011， B＝log2011，则A与B的大小关系为________．
[答案] A>B
[解析] 设20101111＝x，则
A＝log2011，B＝log2011，x>1，
∵－＝>0，y＝log2011x为增函数，
∴log2011>log2011，即A>B.
【点此下载】