1.(文)(2012·河北保定模拟)若a>0且a≠1,b>0,则“logab>0”是“(a-1)(b-1)>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] ∵a>0且a≠1,b>0,
∴logab>0?或?(a-1)(b-1)>0.
(理)(2011·马鞍山二中月考)设a,b∈R,现给出下列五个条件:①a+b=2;②a+b>2;③a+b>-2;④ab>1;⑤logab<0,其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件为( )
A.②③④ B.②③④⑤
C.①②③⑤ D.②⑤
[答案] D
[解析] ①a+b=2可能有a=b=1;②a+b>2时,假设a≤1,b≤1,则a+b≤2矛盾;③a+b>-2可能a<0,b<0;④ab>1,可能a<0,b<0;⑤logab<0,∴01或a>1,0 B.>
C.> D.|a|>-b
[答案] B
[解析] 取a=-2,b=-1,逐一检验即可知选B.
3.(2011·重庆二诊)设00,∴ab>b2,因此A不正确;同理可知C不正确;由函数y=()x在R上是减函数得,当0()b>()a>()1,即<()a<()b,因此B正确;同理可知D不正确.综上所述,选B.
[点评] 可取特值a=,b=检验.
4.(文)(2012·天津文,5)设x∈R,则“x>”是“2x2+x-1>0”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 本题考查充要条件,解一元二次不等式的知识.
由2x2+x-1>0得(x+1)(2x-1)>0,
即x<-1或x>,又因为x>?2x2+x-1>0,
而2x2+x-1>0 x>,选A.
(理)(2011·青岛模拟)已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是[-,-],则不等式x2-bx-a<0的解集是( )
A.(2,3) B.(-∞,2)∪(3,+∞)
C.(,) D.(-∞,)∪(,+∞)
[答案] A
[解析] 由题意知-、-是方程ax2-bx-1=0的根,由韦达定理得,-+(-)=,-×(-)=-.
∴a=-6,b=5,
不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,∴2f(1)的解集是( )
A.(-3,1)∪(3,+∞)
B.(-3,1)∪(2,+∞)
C. (-1,1)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(1,3)
[答案] A
[解析] 由题意知f(1)=3,故原不等式可化为
或解之得-33,
∴原不等式的解集为(-3,1)∪(3,+∞),故选A.
(理)若关于x的不等式(m-1)x<的解集为{x|0N
C.M=N D.不确定
[答案] B
[解析] 由题意得M-N=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1)>0,故M>N,选B.
(理)已知0N
C.M=N D.不确定
[答案] B
[解析] ∵00,b>0,
∴M-N=+
==>0,
∴M>N.
7.(文)不等式||>的解集为A,不等式|log2x|<2的解集为B,则A∩B=________.
[答案] {x|,∴<0,
∴-20的解集是________.
[答案] {x|x<-1或x>2}
[解析] 不等式x2-(x+1)sgnx-1>0化为
或或
∴x>2或x<-1.
10.(2012·山东青岛市检测)已知函数y=的定义域为R,解关于x的不等式x2-x-a2+a>0.
[分析] 函数y=的定义域为R,即f(x)≥0恒成立,ax2+2ax+1≥0恒成立,即或,不等式x2-x-a2+a>0,可利用分组分解因式得,(x-a)(x+a-1)>0.
[解析] 因为函数y=的定义域为R,
所以ax2+2ax+1≥0恒成立(*).
当a=0时,1≥0恒成立,满足题意,
当a≠0时,为满足(*)必有a>0且Δ=4a2-4a≤0,解得00,
当0≤a<时,解得x1-a;
当a=时,解得x≠;
当a,
综上,当0≤a<时,不等式的解集为{x|x1-a},
当a=时,不等式的解集为{x|x∈R,x≠},
当a}.
能力拓展提升
11.(文)(2011·四川成都期末)已知a>b>0,且ab=1,设c=,P=logca,N=logcb,M=logc(ab),则有( )
A.Pb>0,且ab=1,
所以a>1,02=2,c=<1,
所以logca0 B.2a-b<
C.2< D.log2a+log2b<-2
[答案] D
[解析] 当a=,b=时A不成立;
对B有2a-b<?2a-b<2-1?a-b<-1,
又a+b=1,可得a<0,与a>0矛盾;
对C有2<?2<2-1?+<-1,与+>2(∵a≠b,且a>0,b>0)矛盾,故选D.
12.(文)(2011·东营模拟)已知x∈R,A=(x+3)(x+7),B=x2+9x+20,则A、B的大小关系为( )
A.A>B B.A=B
C.A1时A>B,当x=1时A=B,当x<1时Aa B.a>c≥b
C.c>b>a D.a>c>b
[答案] A
[解析] 解法1:特值法:令a=0,则b=1,c=5,
∴c>b>a,排除B、D;
令c=b,则a=2,∴b=c=5,也满足b>a,排除C,选A.
解法2:c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,
∴c≥b,已知两式作差得2b=2+2a2,即b=1+a2,
∵1+a2-a=2+>0,
∴1+a2>a,∴b>a,∴c≥b>a.
13.若关于x的不等式2x2-(2a+1)x+a<0的整数解有且仅有1、2,则实数a的取值范围是________.
[答案] (2,3]
[解析] 将不等式变形为:(2x-1)(x-a)<0,
由题设条件知a>,∴0,q>0,前n项和为Sn,比较与的大小,结果为________.
[答案] <
[分析] 可以利用等比数列前n项和公式将两个式子表示出来,再作差进行比较,但应注意对公比的分类讨论.
[解析] 当q=1时,=3,=5,所以<;
当q>0且q≠1时,-=-==<0,所以有<.
综上可知<.
15.(2011·珠海模拟)已知b>a>0,x>y>0,求证:>.
[解析] ∵x>y>0,∴0<<,
∵b>a>0,∴0<<,∴1<1+<1+,
即1<<,∴>.
16.(文)(2011·北京海淀区诊断)已知函数f(x)=(ax-1)ex,a∈R.
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(2)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数,求实数a的取值范围.
[解析] (1)因为f ′(x)=(ax+a-1)ex,
所以当a=1时,f ′(x)=xex,令f ′(x)=0,则x=0,
所以f(x),f ′(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
0
(0,+∞)
f ′(x)
-
0
+
f(x)
极小值
所以x=0时,f(x)取得极小值f(0)=-1.
(2)因为f ′(x)=(ax+a-1)ex,函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数,
所以f ′(x)≥0对x∈(0,1)恒成立.
又ex>0,所以只要ax+a-1≥0对x∈(0,1)恒成立,
解法一:设g(x)=ax+a-1,则要使ax+a-1≥0对x∈(0,1)恒成立,只要成立,
即解得a≥1.
解法二:要使ax+a-1≥0对x∈(0,1)恒成立,
因为x>0,所以a≥对x∈(0,1)恒成立,
因为函数g(x)=在(0,1)上单调递减,
∴g(x)≤1,∴a≥1.
(理)(2012·沈阳二模)已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R).
(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;
(2)若函数f(x)在x=1处取得极值,对?x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围;
(3)当00时,由f ′(x)≤0得00时,f(x)在(0,+∞)上有一个极值点.
(2)∵函数f(x)在x=1处取得极值,∴a=1,
∴f(x)≥bx-2?1+-≥b,
令g(x)=1+-,则g′(x)=--=,由g′(x)≥0得x≥e2,
由g′(x)≤0得0h(y),即>.
当00,∴>,
当e1,
∴a22=4>3,∴ln2>ln3,故c2,
∴log23<,∴a>c,∴c0,则( )
A.b2>a2>ab B.b2-ab>b2
[答案] D
[解析] 由a+b<0,b>0,可得a<0,00,b2+ab=b(b+a)<0,可知B错误,D正确.
[点评] 可对a、b取特值检验.
5.设定义域为R的函数f(x)满足下列条件:①对任意x∈R,f(x)+f(-x)=0;②对任意x∈[-1,1],都有>0,且f(-1)=-1.若函数f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈[-1,1]都成立,则当a∈[-1,1]时,t的取值范围是( )
A.-2≤t≤2
B.t≤-或t=0或t≥
C.-≤t≤
D.t≤-2或t=0或t≥2
[答案] D
[分析] 函数f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈[-1,1]都成立?在[-1,1]上,f(x)max≤t2-2at+1,于是由函数的性质可以先求出f(x)max.
[解析] 由题知f(x)是奇函数,在[-1,1]上是增函数,且f(-1)=-1,所以在 [-1,1]上,f(x)max=f(1)=-f(-1)=1.函数f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈[-1,1]都成立?t2-2at+1≥1?t2-2at≥0恒成立.
设g(a)=t2-2at,a∈[-1,1],则??t≤-2或t=0或t≥2.故选D.
6.设A=log2011, B=log2011,则A与B的大小关系为________.
[答案] A>B
[解析] 设20101111=x,则
A=log2011,B=log2011,x>1,
∵-=>0,y=log2011x为增函数,
∴log2011>log2011,即A>B.
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