1.(文)(2012·重庆模拟)已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若x<0时，有ax>1，则不等式f(1－)>1的解集为( )
A．(，＋∞) B．(1，)
C．(－∞，) D．(1，)
[答案] D
[解析] 依题意得01得loga(1－)>logaa,0<1－1的解集是(1，)，选D.
(理)“a＝”是“对任意的正数x，均有x＋≥1”的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
[答案] A
[解析] ∵a＝，x>0时，x＋≥2＝1，等号在x＝时成立，又a＝4时，x＋＝x＋≥2＝4也满足x＋≥1，故选A.
2．(文)(2012·内蒙包头一模)若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0，(b∈R)外切，则a＋b的最大值为( )
A．－3 B．－3
C．3 D．3
[答案] D
[解析] ⊙C1：(x＋a)2＋y2＝4的圆心C1(－a,0)，半径r1＝2，⊙C2：x2＋(y－b)2＝1的圆心C2(0，b)，半径r2＝1，
∵⊙C1与⊙C2外切，∴|C1C2|＝r1＋r2，
∴a2＋b2＝9，
∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝18，
∴a＋b≤3，等号在a＝b＝时成立．
(理)(2011·厦门二检)若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为( )
A. B.
C.＋ D.＋2
[答案] C
[解析] 圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故a＋b＝1，＋＝(a＋b)(＋)＝＋＋≥＋，当且仅当＝，即a＝2(－1)，b＝2－时取等号，故选C.
3．(2012·河南六市联考)函数y＝logax＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线＋－4＝0(m>0，n>0)上，则m＋n的最小值为( )
A．2＋ B．2
C．1 D．4
[答案] C
[解析] y＝logax＋1过定点A(1,1)，∵A在直线＋－4＝0上，∴＋＝4，∵m>0，n>0，
∴m＋n＝(m＋n)(＋)＝(2＋＋)≥(2＋2)＝1，等号在m＝n＝时成立，
∴m＋n的最小值为1.
4．(文)(2011·太原部分重点中学联考)若正实数a，b满足a＋b＝1，则( )
A.＋有最大值4
B．ab有最小值
C.＋有最大值
D．a2＋b2有最小值
[答案] C
[解析] 由基本不等式，得ab≤＝＝－ab，所以ab≤，故B错；＋＝＝≥4，故A错；由基本不等式得≤＝，即＋≤，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D错．故选C.
(理)(2011·湖北八校第一次联考)若00，b>0)的半焦距，则的取值范围是________．
[答案] [，1)
[解析] 由题设条件知，a＋b>c，∴<1，
∵a2＋b2＝c2，
∴()2＝≥＝，
∴≥，≤<1.
8．(文)(2011·温州一检)已知直线x＋2y＝2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．
[答案]
[解析] 由题意知A(2,0)，B(0,1)，所以线段AB的方程用截距式表示为＋y＝1，x∈[0,2]，又动点P(a，b)在线段AB上，所以＋b＝1，a∈[0,2]，又＋b≥2，所以1≥2，解得0≤ab≤，当且仅当＝b＝，即P(1，)时，ab取得最大值.
(理)设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则AB的最小值为______．
[答案] 2
[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为＋＝1，则＝1，
∴a2b2＝a2＋b2≥2ab，切线与两轴交于点A(a,0)和(0，b)，不妨设a>0，b>0，∴ab≥2，则AB＝|AB|＝≥≥2.
9．(文)(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________．
[答案] 4
[解析] 由题意，P，Q关于(0,0)对称，设直线PQ：y＝kx(k>0)，从而P(，)，Q(－，－)．
则PQ＝≥4，当且仅当k＝1时，(PQ)min＝4.
[点评] (1)用基本不等式≥求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立．
(2)应用基本不等式求最值，要注意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“1”的代换等等．
(3)注意到P、Q关于原点对称，可设P(x0，)，x0>0，则|PQ|＝2|OP|＝2≥4，x0＝时取等号，更简捷的获解．
(理)(2011·山东日照调研)在等式“1＝＋”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是________．
[答案] 4和12
[解析] 设两个括号中的正整数分别为x，y，则x>0，y>0，＋＝1，x＋y＝(x＋y)(＋)＝10＋＋≥10＋2＝16，等号在＝，即y＝3x时成立，由解得
10．(文)(2011·洛阳模拟)若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，求＋的最小值．
[解析] 由x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0得
(x＋4)2＋(y＋1)2＝16，
∴圆的圆心坐标为(－4，－1)，
∴－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，
∴＋＝＝，
由1＝4a＋b≥2＝4，得ab≤，
∴≥16，∴＋的最小值为16.
(理)如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB＝30m，AD＝20m.记三角形花园APQ的面积为S.
(1)当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值；
(2)要使S不小于1600m2，则DQ的长应在什么范围内？
[解析] (1)设DQ＝xm(x>0)，则AQ＝x＋20，
∵＝，∴＝，
∴AP＝，则S＝×AP×AQ＝
＝15(x＋＋40)≥1200，当且仅当x＝20时取等号．
(2)∵S≥1600，∴3x2－200x＋1200≥0，∴00，
A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0得A>B，
C－A＝－(1＋a2)＝－
＝－>0，得C>A，∴B0，b>0，由条件得a2＋b2＝2(a＋b)，∵a2＋b2≥，
∴(a＋b)2≤4(a＋b)，∴a＋b≤4，
又(a＋b)2－2(a＋b)＝2ab>0，∴a＋b>2，
∴20，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )
A．2 B．3 C．6 D．9
[答案] D
[解析] f ′(x)＝12x2－2ax－2b＝0的一根为x＝1，即12－2a－2b＝0.
∴a＋b＝6，∴ab≤()2＝9，当且仅当a＝b＝3时“＝”号成立．
13．(文)(2011·湛江调研)已知x>0， y>0，若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4
C．－20，y>0，
∴＋≥2＝8，由条件知m2＋2m<8，
解得－40，a7＝a6＋2a5，设{an}的公比为q，则a6q＝a6＋，∴q2－q－2＝0，∵q>0，∴q＝2，
∵＝4a1，∴a·qm＋n－2＝16a，∴m＋n－2＝4，
∴m＋n＝6，
∴＋＝(m＋n)＝≥＝，等号在＝，即n＝2m＝4时成立．
14．如图所示，已知D是面积为1的△ABC的边AB的中点，E是边AC上任一点，连接DE，F是线段DE上一点，连接BF，设＝λ1，＝λ2，且λ1＋λ2＝，记△BDF的面积为S＝f(λ1，λ2)，则S的最大值是________．
[答案]
[解析] 连接BE.因为△ABC的面积为1，＝λ2，所以△ABE的面积为λ2.因为D是AB的中点，所以△BDE的面积为.因为＝λ1，所以△BDF的面积S＝f(λ1，λ2)＝λ1λ2≤()2＝，上式当且仅当λ1＝λ2＝时取等号．
15．(文)
(2011·三明模拟)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.
(1)设总造价为S元，AD的长为xm，试建立S关于x的函数关系式；
(2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区．
[解析] (1)设DQ＝y，
则x2＋4xy＝200，∴y＝.
S＝4200x2＋210×4xy＋80×4×y2
＝38000＋4000x2＋(0ax－5恒成立，求a的取值范围．
[解析] (1)令x＝1，y＝0，
得f(1＋0)－f(0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2，
∴f(0)＝f(1)－2＝－2.
(2)令y＝0，f(x＋0)－f(0)＝(x＋2×0＋1)·x＝x2＋x，
∴f(x)＝x2＋x－2.
(3)f(x)>ax－5化为x2＋x－2>ax－5，
ax0时，1＋x＋≥1＋2，当且仅当x＝，即x＝时取等号，∵∈(0,2)，∴(1＋x＋)min＝1＋2.
∴a<1＋2.
1．若a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[答案] D
[解析] ∵为a、b的等差中项，∴a＋b＝1.
α＋β＝a＋＋b＋?1＋＋＝1＋＝1＋，
∵≤，∴ab≤＝.
当a＝b＝时取等号．
∴α＋β＝1＋≥1＋4＝5.
∴α＋β的最小值为5.故选D.
2．已知R1、R2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①②连接，设相应的总阻值分别为RA、RB，则RA与RB的大小关系是( )
A．RA>RB B．RA＝RB
C．RA0，所以RA>RB.
3．若a、b、c、d、x、y是正实数，且P＝＋，Q＝·，则( )
A．P＝Q B．P≥Q
C．P≤Q D．P>Q
[答案] C
[解析] Q＝·
＝
≥＝＋＝P.
[点评] 可用特值法求解，令所有字母全为1，则P＝2，Q＝2，∴P＝Q，排除D；令a＝b＝c＝d＝1，x＝1，y＝4，则P＝4，Q＝5，∴P0，
∴y＝－x－，x∈为增函数，∴ymax＝y′|x＝＝－，
当a≥－时，a≥－x－恒成立，
即x2＋ax＋1≥0，x∈恒成立，∴选C.
5．如图在等腰直角△ABC中，点P是斜边BC的中点，过点P的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则mn的最大值为( )
A. B．1 C．2 D．3
[答案] B
[解析] 以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC的腰长为2，则P点坐标为(1,1)，B(0,2)、C(2,0)，∵＝m，＝n，
∴＝，＝，∴M、N，
∴直线MN的方程为＋＝1，
∵直线MN过点P(1,1)，∴＋＝1，∴m＋n＝2，
∵m＋n≥2，∴mn≤＝1，当且仅当m＝n＝1时取等号，∴mn的最大值为1.
6．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则＋的最小值是________．
[答案] 8
[解析] ＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)，
∵与共线，∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b＝1.
∵a>0，b>0，∴＋＝(＋)(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即b＝，a＝时等号成立．
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