1.(2011·广州检测)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
[答案] A
[解析] 设圆心坐标为(0，b)，则由题意知
＝1，解得b＝2，
故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
2．(文)(2011·广东文，8)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆C的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
[答案] A
[解析] 动圆圆心C到定点(0,3)的距离与到定直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的定义，故选A.
(理)(2011·广州模拟)动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(x＋)2＋y2＝
[答案] C
[解析] 设中点M(x，y)，则点A(2x－3,2y)，
∵A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，
即(2x－3)2＋4y2＝1，故选C.
3．方程(x2＋y2－4)＝0表示的曲线形状是( )
[答案] C
[解析] 注意到方程(x2＋y2－4)＝0等价于①或②x＋y＋1＝0.①表示的是不在直线x＋y＋1＝0的左下方且在圆x2＋y2＝4上的部分；②表示的是直线x＋y＋1＝0.因此，结合各选项知，选C.
4．(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线3x＋4y＋5＝0的距离最大值是a，最小值是b，则a＋b＝( )
A. B.
C. D．5
[答案] B
[解析] 圆心C(1,1)到直线3x＋4y＋5＝0距离d＝，∴a＋b＝＋＝(r为圆的半径)．
5．(2012·福州八县联考)已知函数f(x)＝，x∈[1,2]，对于满足1x2－x1；
②x2f(x1)>x1f(x2)；
③(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0；
④(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0.
其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] B
[解析] 曲线y＝，x∈[1,2]表示圆(x－1)2＋y2＝1，位于直线x＝1右侧x轴上方的四分之一个圆，∵1f(x2)．因此，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0，④错，③对；显然有kOA>kOB，∴>，∴x2f(x1)>x1f(x2)，故②正确；又kAB＝<0，可能有kAB<－1，也可能kAB>－1，∴①错．
6．(文)(2011·日照模拟)圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－3)2＝()2
B．(x－3)2＋(y－1)2＝()2
C．(x－2)2＋(y－)2＝9
D．(x－)2＋(y－)2＝9
[答案] C
[解析] 设圆心坐标为(a，)(a>0)，
则圆心到直线3x＋4y＋3＝0的距离d＝＝(a＋＋1)≥(4＋1)＝3，等号当且仅当a＝2时成立．
此时圆心坐标为(2，)，半径为3，故所求圆的方程为
(x－2)2＋ (y－)2＝9.
(理)(2011·西安模拟)若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为( )
A．1 B．5
C．4 D．3＋2
[答案] D
[解析] 由条件知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，∴a＋b＝1，
∴＋＝(＋)(a＋b)
＝3＋＋≥3＋2，
等号在＝，即b＝2－，a＝－1时成立．
7．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为________．
[答案] (x＋3)2＋(y－4)2＝4(x≠－且x≠－)
[解析]
如图所示，设P(x，y)，
N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为(，)，线段MN的中点坐标为(，)．由于平行四边形的对角线互相平分，
故＝，＝.
从而.
因为N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点(－，)和(－，)(点P在直线OM上时的情况)．
8．(2011·南京模拟)已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．
[答案] x＋y－1＝0
[解析] 过点M的最短的弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，
∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.
9．(文)已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________．
[答案] (x＋2)2＋y2＝2
[解析] 设圆的方程为(x－a)2＋y2＝2(a<0)，由条件得＝，∴|a|＝2，又a<0，∴a＝－2.
(理)(2012·石家庄一模)已知动圆的圆心C在抛物线x2＝2py(p>0)上，该圆经过点A(0，p)，且与x轴交于两点M、N，则sin∠MCN的最大值为________．
[答案] 1
[解析] 当圆心C的纵坐标为p时，C(p，p)为圆心的圆方程为(x－p)2＋(y－p)2＝2p2，令y＝0得，x＝p±p，∴MC⊥NC，∴sin∠MCN＝1.
10．(文)已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)，求：
(1)过点A的圆的切线方程；
(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S.
[解析] (1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.
当切线的斜率不存在时，过点A的直线方程为x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．
当k存在时，设直线方程为y－5＝k(x－3)，
即kx－y＋5－3k＝0，由直线与圆相切得，
＝1，∴k＝.
∴直线方程为x＝3或y＝x＋.
(2)|AO|＝＝，
直线OA：5x－3y＝0，
点C到直线OA的距离d＝，
S＝·d·|AO|＝.
(理)(2011·兰州一诊)已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
[解析] (1)设圆M的方程为：
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
根据题意，得
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)因为四边形PAMB的面积
S＝S△PAM＋S△PBM
＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，
而|PA|＝＝，
即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，
使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝＝3，
所以四边形PAMB面积的最小值为：
S＝2＝2＝2.
能力拓展提升
11.(2011·西安模拟)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面积为( )
A．10 B．20
C．30 D．40
[答案] B
[解析] 圆的方程：(x－3)2＋(y－4)2＝25，
∴半径r＝5，
圆心到最短弦BD的距离d＝1，
∴最短弦长|BD|＝4，
又最长弦长|AC|＝2r＝10，
∴四边形的面积S＝×|AC|×|BD|＝20.
12．(文)(2011·成都龙泉第一中学模拟)以抛物线y2＝20x的焦点为圆心，且与双曲线－＝1的两渐近线都相切的圆的方程为( )
A．x2＋y2－20x＋64＝0 B．x2＋y2－20x＋36＝0
C．x2＋y2－10x＋16＝0 D．x2＋y2－10x＋9＝0
[答案] C
[解析] 抛物线的焦点坐标是(5,0)，双曲线的渐近线方程是3x±4y＝0，
点(5,0)到直线3x±4y＝0的距离d＝3即为所求圆的半径．故所求圆的方程为(x－5)2＋y2＝9，
即x2＋y2－10x＋16＝0，故选C.
(理)设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是( )
A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2
C．y2＝2x D．y2＝－2x
[答案] B
[解析] 设P(x，y)，圆心C(1,0)，由题意知PA⊥AC，∴|PC|2＝|PA|2＋|AC|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2，故选B.
13．(2011·长春市调研)若圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交所得的弦长为2，则圆的方程是________________．
[答案] (x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244
[解析] 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x＋2y＝0上，即有a＋2b＝0，根据题意可得
解得或
所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
14．(文)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为__________．
[答案] (x＋1)2＋y2＝2
[解析] 在直线方程x－y＋1＝0中，令y＝0得，x＝－1，∴圆心坐标为(－1,0)，
由点到直线的距离公式得圆的半径
R＝＝，
∴圆的标准方程为(x＋1)＋y2＝2.
(理)圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于A、B，|AB|＝，则该圆的标准方程是________．
[答案] (x－1)2＋2＝1
[解析]
设圆心C(a，b)，由条件知a＝1，取弦AB中点D，则CD＝＝＝，
即b＝，∴圆方程为(x－1)2＋2＝1.
15．(文)(2011·青岛模拟)已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．
[解析] (1)证明：∵圆C过原点O，∴OC2＝t2＋.
设圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋，
令x＝0，得y1＝0，y2＝；
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，
∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝××|2t|＝4，
即△OAB的面积为定值．
(2)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，
∴OC垂直平分线段MN.
∵kMN＝－2，∴kOC＝.
∴直线OC的方程是y＝x.
∴＝t，解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，
圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>.
圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合题意，舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(理)(2011·北京模拟)已知点A(－3,0)，B(3,0)．动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线C的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
[解析] (1)设P(x，y)，∵|PA|＝2|PB|，
∴(x＋3)2＋y2＝4[(x－3)2＋y2]
整理得(x－5)2＋y2＝16.
(2)由条件知QM与圆C相切，
则问题转化为在直线l1上求一点Q，过点Q作⊙C的切线，求切线长的最小值．
由于⊙C的半径为定值4，欲使切线长最小，只需QC最小，而点C(5,0)为定点，因此，当CQ⊥l1时取得最小值，∵C到l1的距离d＝4，∴|QM|min＝＝4.
16．(文)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
[分析] (1)设出点P的坐标，由|PA|＝2|PB|写出方程，化简即可；
(2)直线l2与曲线C只有一个公共点M，故l2与C相切，当|QC|取最小值时，|QM|取到最小值，故|CQ|为点C到l1的距离时满足要求．
[解析] (1)设点P的坐标为(x，y)，
则＝2，
化得可得(x－5)2＋y2＝16即为所求．
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．
由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，
则|QM|＝
＝，
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝＝4，
此时|QM|的最小值为＝4.
(理)(2012·河南六市联考)已知直线l与抛物线x2＝4y相切于点P(2,1)，且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为(2,0)，动点Q满足·＋||＝0.
(1)求动点Q的轨迹C的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与切点Q的轨迹C有两个不同交点M，N，就一定有·＝0？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)由x2＝4y得y＝x2，∴y′＝x，
∴直线l的斜率为y′|x＝2＝1，
故l的方程为：y－1＝1(x－2)，即y＝x－1，
∴点A坐标为(1,0)，
设Q(x，y)，则＝(1,0)，＝(x－2，y)，＝(x－1，y)，
由·＋||＝0得，
x－2＋0＋＝0，
化简整理得＋y2＝1，
故动点Q的轨迹C的方程为：＋y2＝1.
(2)假设存在这样的圆，其方程为x2＋y2＝r2(r>0)．
(ⅰ)当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m代入＋y2＝1，可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
判别式Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)>0，
∴m2<1＋2k2，①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，②
x1x2＝，③
由·＝0，可得x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，④
将②③代入④得－＋m2＝0，m2＝(1＋k2)，⑤
显然满足①式
由直线MN：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝r2相切知：
r＝，
∴r＝＝，即存在圆x2＋y2＝满足题意．
(ⅱ)当直线MN的斜率不存在时，可得x1＝x2＝或x1＝x2＝－，y1＝－y2＝，满足·＝0，
综上所述：存在圆x2＋y2＝满足题意．
1．双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为60°，直线ax＋by－a＋1＝0平分圆C：(x－2)2＋(y－)2＝1，则点P(a，b)与圆C的位置关系是( )
A．P在⊙C内 B．P在⊙C上
C．P在⊙C外 D．无法确定
[答案] C
[解析] 由条件得，
解之得
∵(－－2)2＋(－－)2>1，∴点P在⊙C外．
2．(2011·临沂模拟)圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是( )
A．(－∞，] B．(0，]
C．(－，0) D．(－∞，)
[答案] A
[解析] 由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，∴ab≤()2＝.
3．已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0距离为d，则d的最小值为( )
A．1 B.
C. D．2
[答案] A
[解析] ∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0距离为2，∴dmin＝2－1＝1.
4．(2011·东北育才中学期末)圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，0)
C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)
[答案] A
[解析] 圆(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，由条件知，圆心C(1，－3)在直线y＝x＋2b上，∴b＝－2，又10－5a>0，∴a<2，∴a－b<4.
5．(2011·浙江宁波八校联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝8上，ab的最大值为________．
[答案] 1
[解析] 由条件知a>0，b>0，(a＋1)2＋(b＋1)2＝8，∴a2＋b2＋2a＋2b＝6，∴2ab＋4≤6，
∵ab>0，
∴0
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