1.(文)( 2011·深圳二模)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
[答案] A
[解析] 解法一：圆心(0,1)到直线的距离d＝<1< ，故选A.
解法二：直线mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C是相交的，故选A.
(理)(2012·重庆理，3)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
[答案] C
[解析] 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式．
圆心C(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离d＝≤1<.
所以直线与圆相交，故选C.
[点评] 圆与直线的位置关系一般运用圆心到直线的距离d与圆的半径关系判断．若直线过定点，也可通过该点在圆内，圆外，圆上去判断．如本题中直线y＝kx＋1过定点M(0,1)，M在圆内．
2．(2011·济南二模)“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有＝2，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(x－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件．
3．(2011·东北三校联考)若a、b、c是直角三角形的三边(c为斜边)，则圆x2＋y2＝2截直线ax＋by＋c＝0所得的弦长等于( )
A．1 B．2 C. D．2
[答案] B
[解析] ∵a、b、c是直角三角形的三条边，
∴a2＋b2＝c2.
设圆心O到直线ax＋by＋c＝0的距离为d，则d＝＝1，∴直线被圆所截得的弦长为
2＝2.
4．(2011·潍坊模拟)已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( )
A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝0
[答案] D
[解析] 解法一：圆心O(0,0)，C(3，－3)的中点P(，－)在直线l上，排除A、B、C，选D.
解法二：两圆方程相减得，6x－6y－18＝0，
即x－y－3＝0，故选D.
[点评] 直线l为两圆心连线段的中垂线．
5．(2012·山东文，9)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
[答案] B
[解析] 本题考查圆与圆的位置关系．
两圆圆心分别为A(－2,0)，B(2,1)，
半径分别为r1＝2，r2＝3，|AB|＝，
∵3－2<<2＋3，∴两圆相交．
6．(文)(2012·福建文，7)直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于( )
A．2 B．2
C. D．1
[答案] B
[解析] 本题考查了圆的弦长问题．
如图可知
d＝＝1，
∴|AB|＝2|BC|＝2＝2.
[点评] 涉及到直线与圆相交的弦长问题，优先用Rt△OCB这一勾股关系，在椭圆中的弦长问题则选用弦长公式l＝|x2－x1|＝|y2－y1|.
(理)(2012·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25，则圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] ⊙C上的点到直线l：4x＋3y＝25的距离等于2的点，在直线l1：4x＋3y＝15上，圆心到l1的距离d＝3，圆半径r＝2，∴⊙C截l1的弦长为|AB|＝2＝2，∴圆心角∠AOB＝，的长为⊙C周长的，故选B.
7．(2012·北京东城区示范校练习)已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋4y－1＝0关于直线l对称，则直线l的方程为________．
[答案] x－y－2＝0
[解析] 由题易知，直线l是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线，两圆的圆心坐标分别是(0,0)，(2，－2)，于是其中点坐标是(1，－1)，又过两圆圆心的直线的斜率是－1，所以直线l的斜率是1，于是可得直线l的方程为：y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.
[点评] 两圆方程相减，即可得出对称直线方程．
8．(文)(2012·皖南八校第三次联考)已知点P(1，－2)，以Q为圆心的圆Q：(x－4)2＋(y－2)2＝9，以PQ为直径作圆与圆Q交于A、B两点，连接PA、PB，则∠APB的余弦值为________．
[答案]
[解析] 由题意可知QA⊥PA，QB⊥PB，故PA，PB是圆Q的两条切线，cos∠APB＝2cos2∠APQ－1＝2×()2－1＝.
(理)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，O为原点，且·＝2，则实数a的值等于________．
[答案] ±
[解析] 本题考查直线与圆的位置关系和向量的运算．
设、的夹角为θ，则·＝R2·cosθ＝4cosθ＝2，
∴cosθ＝，∴θ＝，则弦AB的长|AB|＝2，弦心距为，由圆心(0,0)到直线的距离公式有：
＝，解之得a＝±.
9．(文)与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．
[答案] (x－2)2＋(y－2)2＝2
[解析] ∵⊙A：(x－6)2＋(y－6)2＝18的圆心A(6,6)，半径r1＝3，
∵A到l的距离5，∴所求圆B的直径2r2＝2，
即r2＝.
设B(m，n)，则由BA⊥l得＝1，
又∵B到l距离为，∴＝，
解出m＝2，n＝2.
(理)(2011·杭州二检)已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．
[答案] (x－1)2＋(y＋1)2＝9
[解析] 设圆心为M(x，y)，由|AB|＝6知，圆M的半径r＝3，则|MC|＝3，即＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.
10．(文)已知圆C：x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线l：x＋2y－3＝0.
(1)若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；
(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．
[解析] (1)将圆的方程配方，
得(x＋)2＋(y－3)2＝，
故有 >0，解得m<.
将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，得
消去y，得x2＋()2＋x－6×＋m＝0，
整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0，①
∵直线l与圆C没有公共点，∴方程①无解，故有Δ＝102－4×5(4m－27)<0，解得m>8.
∴m的取值范围是(8，)．
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由OP⊥OQ，得·＝0，
由x1x2＋y1y2＝0，②
由(1)及根与系数的关系得，
x1＋x2＝－2，x1·x2＝③
又∵P、Q在直线x＋2y－3＝0上，
∴y1·y2＝·
＝[9－3(x1＋x2)＋x1·x2]，
将③代入上式，得y1·y2＝，④
将③④代入②得x1·x2＋y1·y2
＝＋＝0，解得m＝3，
代入方程①检验得Δ>0成立，∴m＝3.
(理)已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，一动直线l过A(－1,0)与圆C相交于P、Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.
(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
(2)当PQ＝2时，求直线l的方程；
(3)探索·是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．
[解析] (1)证明：因为l与m垂直，
且km＝－，kl＝3，
故直线l：y＝3(x＋1)，即3x－y＋3＝0.
显然圆心(0,3)在直线l上，
即当l与m垂直时，l必过圆心．
(2)①当直线l与x轴垂直时，
易知x＝－1符合题意．
②当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，
因为PQ＝2，所以CM＝＝1，
则由CM＝＝1，得k＝.
所以直线l：4x－3y＋4＝0.
从而所求的直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.
(3)因为CM⊥MN，
所以·＝(＋)·
＝·＋·＝·.
①当l与x轴垂直时，
易得N(－1，－)，则＝(0，－)，
又＝(1,3)，所以·＝·＝－5.
②当l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
则由，得N，
则＝.
所以·＝·＝－5.
综上，·与直线l的斜率无关，因此与倾斜角也无关，且·＝－5.
能力拓展提升
11.(2011·济南模拟)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．－1或 B．1或3
C．－2或6 D．0或4
[答案] D
[解析] 圆心(a,0)到直线x－y＝2的距离d＝，则()2＋()2＝22，
∴a＝0或4.
12．(2011·银川部分中学联考)已知直线l经过坐标原点，且与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l的方程为( )
A．y＝－x B．y＝x
C．y＝－x D．y＝x
[答案] C
[解析]
由题易知，圆的方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2,0)，半径为1，如图，经过原点的圆的切线，当切点在第四象限时，切线的倾斜角为150°，切线的斜率为tan150°＝－，故直线l的方程为y＝－x，选C.
13．(文)(2011·天津模拟)过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为( )
A．2 B．2
C．3 D．2
[答案] B
[解析] 当过点(0,1)的直线与直径垂直且(0,1)为垂足时，|AB|取最小值2.
(理)(2011·宝鸡五月质检)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|＋|＝|－|(其中O为坐标原点)，则实数a等于( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D.或－
[答案] C
[解析] ∵|＋|＝|－|，
∴||2＋||2＋2·
＝||2＋||2－2·，
∴·＝0，∴⊥，
画图易知A、B为圆x2＋y2＝4与两坐标轴的交点，
又A、B是直线x＋y＝a与圆的交点，∴a＝2或－2.
14．(文)若圆C：x2＋y2－ax＋2y＋1＝0和圆x2＋y2＝1关于直线l1：x－y－1＝0对称，动圆P与圆C相外切且与直线l2：x＝－1相切，则动圆P的圆心的轨迹方程是________．
[答案] y2－6x＋2y－2＝0
[解析]
由题意知圆C的圆心为C(，－1)，圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，由两圆关于直线l1对称，易得点(0,0)关于直线l1：x－y－1＝0对称的点 (1，－1)就是点C，故a＝2，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，其半径为1.设动圆P的圆心为P(x，y)，半径为r，由动圆P与圆C相外切可得：|PC|＝r＋1，由图可知，圆心P一定在直线x＝－1的右侧，所以由动圆P与直线l2：x＝－1相切可得r＝x－(－1)＝x＋1.代入|PC|＝r＋1得：＝x＋2，整理得：y2－6x＋2y－2＝0.
(理)(2012·天津，12)设m、n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．
[答案] 3
[解析] ∵l与圆相交弦长为2，∴＝，
∴m2＋n2＝≥2|mn|，∴|mn|≤，l与x轴交点A(，0)，与y轴交点B(0，)，
∴S△AOB＝||||＝ ≥×6＝3.
15．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
[解析] (1)∵(3－1)2＋(1－2)2>4，∴M在圆外，
当过点M的直线斜率不存在时，易知直线x＝3与圆相切．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y－3k＋1＝0，
∵直线与圆相切，∴＝2，
解之得k＝，
∴切线方程为y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
∴所求的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
(2)由ax－y＋4＝0与圆相切知＝2，
∴a＝0或a＝.
(3)圆心到直线的距离d＝，
又l＝2，r＝2，
∴由r2＝d2＋()2，可得a＝－.
16．(文)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解析] 依题意，设l的方程为y＝x＋b，①
又⊙C的方程为x2＋y2－2x＋4y－4＝0，②
联立①②消去y得：
2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
③
∵以AB为直径的圆过原点，
∴⊥，即x1x2＋y1y2＝0，
而y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2，
∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
由③得b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，
即b2＋3b－4＝0，∴b＝1或b＝－4，
∴满足条件的直线l存在，其方程为
x－y＋1＝0或x－y－4＝0.
(理)(2012·河南豫北六校精英联考)在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，已知直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．
(1)写出C的方程；
(2)若以AB为直径的圆过原点O，求k的值；
(3)若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有|OA|>|OB|.
[解析] (1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴b＝＝1，故椭圆方程为＋x2＝1.
(2)由题意可知，以AB为直径的圆过原点O，即OA⊥OB，联立方程消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，
设A (x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理可知：
x1＋x2＝－，x1·x2＝－，
y1·y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝，
所以，·＝x1x2＋y1y2＝－＋＝0，得k2＝，即k＝±.
(3)||2－||2＝x＋y－(x＋y)＝x－x＋y－y
＝(x1－x2)(x1＋x2)＋k(x1－x2)[k(x1＋x2)＋2]
＝[2k＋(1＋k2)(x1＋x2)](x1－x2)
＝.
因为A在第一象限，所以x1>0，
又因为x1·x2＝－，所以x2<0，故x1－x2>0，
又因为k>0，所以|OA|>|OB|.
1．(2011·豫南四校调研考试)直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A、B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为( )
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0
D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
[答案] D
[解析] ∵圆的半径为5，|AB|＝8，∴圆心(－1,2)到直线l的距离为3.当直线l的斜率不存在时，因为直线l过点(－4,0)，所以直线l的方程为x＝－4.此时圆心(－1,2)到直线l的距离为3，满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，则圆心(－1, 2)到直线l的距离为＝3，解之得k＝－，∴直线l的方程为－x－y－＝0，整理得5x＋12y＋20＝0.综上可得，满足题意的直线l方程为5x＋12y＋20＝0或x＝－4，故选D.
2．已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a、b∈R)，那么两圆的位置关系是( )
A．内含 B．内切
C．相交 D．外切
[答案] C
[解析] 两圆半径分别为2,1，因为1<|O1O2|＝<3，所以两圆相交．
3．直线xsinθ＋ycosθ＝1＋cosθ与圆x2＋(y－1)2＝4的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
[答案] C
[解析] 圆心到直线的距离d＝＝1<2，
∴直线与圆相交．
4．(2012·河南质量调研)直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝9相交于两点M、N，若c2＝a2＋b2，则·(O为坐标原点)等于( )
A．－7 B．－14
C．7 D．14
[答案] A
[解析] 记、的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于＝1，
∴cosθ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×()2－1＝－，
∵·＝3×3cos2θ＝－7，选A.
5．(2012·沈阳六校联考)已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为( )
A．6 B.
C．8 D.
[答案] B
[解析] 记圆心为C，则由题意得|AB|＝5，直线AB：＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C(0,1)到直线AB的距离为，点P到直线AB的距离h的最小值是－1＝，△ABP的面积等于|AB|h＝h≥×＝，即△ABP的面积的最小值是，选B.
6．(2011·海淀期末)已知直线l：y＝－1，定点F(0,1)，P是直线x－y＋＝0上的动点，若经过点F、P的圆与l相切，则这个圆面积的最小值为( )
A. B．π
C．3π D．4π
[答案] B
[解析] 由于圆经过点F、P且与直线y＝－1相切，所以圆心到点F、P与到直线y＝－1的距离相等．由抛物线的定义知圆心C在以点(0,1)为焦点的抛物线x2＝4y上，圆与直线x－y＋＝0的交点为点P.显然，圆心为抛物线的顶点时，半径最小为1，此时圆面积最小，为π.故选B.
7．(2011·北京日坛中学摸底考试)若过定点M(－1,0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是 ( )
A．0
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