1.(文)椭圆+=1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为d1、d2,焦距为2c.若d1,2c,d2成等差数列,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
[答案] A
[解析] 由椭圆的定义,d1+d2=2a,
又由题意得d1+d2=4c,∴2a=4c,∴e==.
(理)(2011·浙江五校联考)椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,一直线过F1交椭圆于A、B两点,则△ABF2的周长为( )
A.32 B.16 C.8 D.4
[答案] B
[解析] 由题设条件知△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16.
2.(2011·岳阳月考)椭圆+=1的离心率为,则k的值为( )
A.-21 B.21
C.-或21 D.或21
[答案] C
[解析] 若a2=9,b2=4+k,则c=,由=即=,得k=-;若a2=4+k,b2=9,则c=,
由=,即=,解得k=21.
3.(2012·新课标,4)设F1、F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 本题考查了圆锥曲线的离心率的求法.
设直线x=与x轴交于点M,则由条件知,∠F2F1P=∠F2PF1=30°,∴∠PF2M=60°,
在Rt△PF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=-c,
故cos60°===,
解得=,故离心率e=.
[点评] 求离心率时要注意数形结合的应用,在图形中设法寻求a,c所满足的数量关系,从而确定离心率的值.
4.(文)(2011·抚顺六校检测)椭圆+y2=1的焦点为F1、F2,点M在椭圆上,·=0,则M到y轴的距离为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[分析] 条件·=0,说明点M在以线段F1F2为直径的圆上,点M又在椭圆上,通过方程组可求得点M的坐标,即可求出点M到y轴的距离.
[解析] 解法1:椭圆的焦点坐标是(±,0),点M在以线段F1F2为直径的圆上,该圆的方程是x2+y2=3,即y2=3-x2,代入椭圆得+3-x2=1,解得x2=,即|x|=,此即点M到y轴的距离.
解法2:由·=0知,MF1⊥MF2,
∴∴
由|MF1|2=t·|F1F2|得t=+,
∴M到y轴的距离为t-=.
解法3:设M(x0,y0),则+y=1,
∴y=1-,①
∵·=0,∴MF1⊥MF2,
∴|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=4c2=12,
又F1(-,0),F2(,0),
∴(x0+)2+y+(x0-)2+y=12,
将①代入解得x0=±,
∴M到y轴的距离为.
[点评] 满足·=0(其中A,B是平面上两个不同的定点)的动点M的轨迹是以线段AB为直径的圆.
(理)(2011·河北石家庄一模)已知椭圆+=1的焦点分别是F1,F2,P是椭圆上一点,若连接F1,F2,P三点恰好能构成直角三角形,则点P到y轴的距离是( )
A. B.3
C. D.
[答案] A
[解析] F1(0,-3),F2(0,3),∵3<4,
∴∠F1F2P=90°或∠F2F1P=90°.
设P(x,3),代入椭圆方程得x=±.
即点P到y轴的距离是.
5.(文)(2011·山东淄博重点中学期中)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
[答案] D
[解析] 2a=12,∴a=6,∵e==,
∴c=2,∴b2=a2-c2=32,故选D.
(理)(2011·长沙模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是( )
A.+=1 B.+=1
C.+y2=1 D.+=1
[答案] A
[解析] 由x2+y2-2x-15=0得,(x-1)2+y2=16,
∴r=4,∴2a=4,∴a=2,
∵e==,∴c=1,∴b2=a2-c2=3.故选A.
6.(2011·银川二模)两个正数a、b的等差中项是,等比中项是 ,且a>b,则椭圆+=1的离心率e等于( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由题意可知又因为a>b,
所以解得所以椭圆的半焦距为c=,
所以椭圆的离心率e==,故选C.
7.(2011·南京模拟)已知P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上的一点,若·=0,tan∠PF1F2=,则此椭圆的离心率为________.
[答案]
[解析] ∵·=0,∴PF1⊥PF2,
在Rt△PF1F2中,tan∠PF1F2==,
设|PF2|=x,则|PF1|=2x,
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,∴x=,
∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴x2+4x2=4c2,
∴a2=4c2,∴e==.
8.(文)已知实数k使函数y=coskx的周期不小于2,则方程+=1表示椭圆的概率为________.
[答案]
[解析] 由条件≥2,∴-π≤k≤π,
当00,n>0),则当mn取得最小值时,椭圆+=1的离心率是________.
[答案]
[解析] ∵m>0,n>0
∴1=+≥2,
∴mn≥8,当且仅当=,即n=2m时等号成立,
由解得m=2,n=4.
即当m=2,n=4时,mn取得最小值8,
∴离心率e==.
9.(2011·湖南长沙一中月考)直线l:x-y=0与椭圆+y2=1相交A、B两点,点C是椭圆上的动点,则△ABC面积的最大值为________.
[答案]
[解析] 设与l平行的直线方程为x-y+a=0,当此直线与椭圆的切点为C时,△ABC的面积最大,将y=x+a代入+y2=1中整理得,3x2+4ax+2(a2-1)=0,由Δ=16a2-24(a2-1)=0得,a=±,两平行直线x-y=0与x-y+=0的距离d=,将y=x代入+y2=1中得,x1=-,x2=,
∴|AB|=|-(-)|=,
∴S△ABC=|AB|·d=××=.
10.(2011·北京文,19)已知椭圆G:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为(2,0),斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).
(1)求椭圆G的方程;
(2)求△PAB的面积.
[解析] (1)由已知得,c=2,=,
解得a=2,
又b2=a2-c2=4,
所以椭圆G的方程为+=1.
(2)设直线l的方程为y=x+m,
由得4x2+6mx+3m2-12=0.①
设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x10),
若Γ为椭圆,则离心率为e==,
若Γ为双曲线,则离心率为=.
(理)(2011·许昌月考)已知双曲线-=1与椭圆+=1的离心率互为倒数,其中a1>0,a2>b>0,那么以a1、a2、b为边长的三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
[答案] B
[解析] 12=ee=·=·,则aa=aa+(a-a)b2-b4,所以a-a=b2,则以a1、a2、b为边长的三角形是以a2为斜边的直角三角形,故选B.
13.过椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点作圆x2+y2=b2的两条切线,切点分别为A,B,若∠AOB=90°(O为坐标原点),则椭圆C的离心率为________.
[答案]
[解析] 因为∠AOB=90°,所以∠AOF=45°,所以=,所以e2===1-=,即e=.
14.已知椭圆+=1(a>b>0),A(2,0)为长轴的一个端点,弦BC过椭圆的中心O,且·=0,|-|=2|-|,则其焦距为________.
[答案]
[解析] 由题意可知||=||=||,且a=2,
又∵|-|=2|-|,
∴||=2||.∴||=||.
又∵·=0,∴⊥.∴||=||=.
如图,在Rt△AOC中,
易求得C(1,-1),
代入椭圆方程得+=1?b2=,
∴c2=a2-b2=4-=.
∴c=,2c=.
15.(文)(2012·广东文,20)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.
[解析] (1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),
所以c=1,
将点P(0,1)代入椭圆方程+=1,得=1,
即b2=1,所以a2=b2+c2=2,
所以椭圆C1的方程为+y2=1.
(2)直线l的斜率显然存在,设直线l的方程为y=kx+m,
由消去y并整理得,(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0
因为直线l与椭圆C1相切,
所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0
整理得2k2-m2+1=0,①
由消去y并整理得,
k2x2+(2km-4)x+m2=0,
因为直线l与抛物线C2相切,
所以Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0,
整理得km=1,②
综合①②,解得或
所以直线l的方程为y=x+或y=-x-.
(理)(2012·山西四校联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B,设P为椭圆上一点,且满足+=t(O为坐标原点),当|-|<时,求实数t的取值范围.
[解析] (1)由题意知:e==,
∴e2===,∴a2=2b2.
又∵圆x2+y2=b2与直线x-y+=0相切,
∴b=1,∴a2=2,
故所求椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由题意知直线AB的斜率存在,设直线AB的斜率为k,则其方程为:y=k(x-2).
由消去y得,(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,
Δ=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)>0,∴k2<.
设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
∴x1+x2=,x1x2=.
∵+=t,∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),x==,y==[k(x1+x2)-4k]=.
∵点P在椭圆上,∴+2=2,
∴16k2=t2(1+2t2).
∵|-|<,∴|x1-x2|<,
∴(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]<,
即(1+k2)[-4·]<,
∴(4k2-1)(14k2+13)>0,解得:k2>,
∴b>0),
由题意知a=2,b=c,
又a2=b2+c2,则b=,所以椭圆方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,直线l的斜率存在,
设其方程为y=kx+m,与椭圆方程联立
即,消去y得,
(2+k2)x2+2mkx+m2-4=0,
Δ=(2mk)2-4(2+k2)(m2-4)>0
由韦达定理知
又=2,即有(-x1,m-y1)=2(x2,y2-m),
∴-x1=2x2,∴
∴=-22,
整理得(9m2-4)k2=8-2m2,
又9m2-4=0时不成立,所以k2=>0,
得0,
所以m的取值范围为∪.
(理)椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程.
[解析] (1)由题意可设椭圆方程为+=1(a>b>0),
∵e=,即=,∴a=2c,
又b2=a2-c2=3c2,∴椭圆方程为+=1.
又∵椭圆过点A(2,3),∴+=1,
解得c2=4,∴椭圆方程为+=1.
(2)法一:由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),
∴直线AF1的方程y=(x+2),即3x-4y+6=0,
直线AF2的方程为x=2.
设P(x,y)为角平分线上任意一点,则点P到两直线的距离相等.
即=|x-2|,
∴3x-4y+6=5(x-2)或3x-4y+6=5(2-x),
即x+2y-8=0或2x-y-1=0.
由图形知,角平分线的斜率为正数,故所求∠F1AF2的平分线所在直线方程为2x-y-1=0.
法二:设AM平分∠F1AF2,则直线AF1与直线AF2关于直线AM对称.
由题意知直线AM的斜率存在且不为0,设为k.
则直线AM方程y-3=k(x-2).
由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),
∴直线AF1方程为y=(x+2),即3x-4y+6=0.
设点F2(2,0)关于直线AM的对称点F2′(x0,y0),
则
解之得F2′(,).
∵直线AF1与直线AF2关于直线AM对称,
∴点F2′在直线AF1上.
即3×-4×+6=0.
解得k=-或k=2.
由图形知,角平分线所在直线方程斜率为正,
∴k=-(舍去).
故∠F1AF2的角平分线所在直线方程为2x-y-1=0.
法三:∵A(2,3),F1(-2,0),F2(2,0),
∴=(-4,-3),=(0,-3),
∴+=(-4,-3)+(0,-3)
=-(1,2),
∴kl=2,∴l:y-3=2(x-2),即2x-y-1=0.
[点评] 因为l为∠F1AF2的平分线,∴与的单位向量的和与l共线.从而可由、的单位向量求得直线l的一个方向向量,进而求出其斜率.
1.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
[答案] B
[解析] 点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,
∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.
2.若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为( )
A.至多一个 B.2个
C.1个 D.0个
[答案] B
[解析] ∵直线与圆无交点,∴>2,∴m2+n2<4,∴点(m,n)在圆内,又圆在椭圆内,∴点(m,n)在椭圆内,故过点(m,n)的直线与椭圆有两个交点.
3.(2012·沈阳市二模)已知F1、F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,点P为椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( )
A.+=1(y≠0) B.+y2=1(y≠0)
C.+3y2=1(y≠0) D.x2+=1(y≠0)
[答案] C
[解析] 椭圆C:+=1中,a2=4,b2=3,
∴c2=a2-b2=1,∴焦点F1(-1,0),F2(1,0),
设G(x,y),P(x1,y1),则,∴,
∵P在椭圆C上,∴+=1,∴+3y2=1.
当y=0时,点G在x轴上,三点P、F1、F2构不成三角形,
∴y≠0,∴点G的轨迹方程为+3y2=1.(y≠0).
4.(2012·河南商丘二模)已知椭圆+=1(a>b>0),M,N是椭圆的左、右顶点,P是椭圆上任意一点,且直线PM、PN的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0),若|k1|+|k2|的最小值为1,则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] M(-a,0),N(a,0),设P(x0,y0),则k1=,k2=,∴k1k2=,由P在椭圆上知,+=1,∴=a2-x,∴k1k2=-,|k1k2|=为定值,∴|k1|+|k2|≥2=,∴=1,∴a=2b,
∴a2=4b2=4(a2-c2),∴e2=,∴e=.
5.(2011·江西理,14)若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点(1,)作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________.
[答案] +=1
[解析] 点在圆外,过点(1,)与圆相切的一条直线方程为x=1,一个切点为(1,0),
设另一条切线的方程为y=m(x-1)+,
由=1得m=-,故另一条切线的方程为y=-x+代入圆的方程联立解得切点为,则直线AB的方程为y=-2x+2,故椭圆的上顶点坐标为(0,2).因此c=1,b=2,a=,所求椭圆方程为+=1.
[点评] 直接设另一条切线的切点为(m,n),解得切点坐标(,)更简便.
6.(2012·新疆维吾尔自治区模拟)已知椭圆G的方程为+=1(a>b>0),它与x轴交于A、B两点,与y轴正半轴交于C点,点D(0,4),若·=-3,||=2.
(1)求椭圆G的方程;
(2)过点D的直线l交椭圆G于M,N两点,若∠NMO=90°,求|MN|的长.
[解析] (1)∵A(-a,0)、B(a,0)、D(0,4)、C(0,b),
·=-3,||=2,
∴,
∴a2=4,b2=1,
∴椭圆G的方程为+y2=1.
(2)设M(x1,y1),则有
?x1=±,y1=,
∴直线l的斜率k=±
则直线l的方程为y=±x+4,
由?21x2±32x+60=0,
∴x1+x2=±,x1x2=.
∴|MN|==.
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