1.(文)椭圆＋＝1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为d1、d2，焦距为2c.若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
[答案] A
[解析] 由椭圆的定义，d1＋d2＝2a，
又由题意得d1＋d2＝4c，∴2a＝4c，∴e＝＝.
(理)(2011·浙江五校联考)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为( )
A．32 B．16 C．8 D．4
[答案] B
[解析] 由题设条件知△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16.
2．(2011·岳阳月考)椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )
A．－21 B．21
C．－或21 D.或21
[答案] C
[解析] 若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，由＝即＝，得k＝－；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，
由＝，即＝，解得k＝21.
3．(2012·新课标，4)设F1、F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 本题考查了圆锥曲线的离心率的求法．
设直线x＝与x轴交于点M，则由条件知，∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，∴∠PF2M＝60°，
在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c，F2M＝－c，
故cos60°＝＝＝，
解得＝，故离心率e＝.
[点评] 求离心率时要注意数形结合的应用，在图形中设法寻求a，c所满足的数量关系，从而确定离心率的值．
4．(文)(2011·抚顺六校检测)椭圆＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在椭圆上，·＝0，则M到y轴的距离为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[分析] 条件·＝0，说明点M在以线段F1F2为直径的圆上，点M又在椭圆上，通过方程组可求得点M的坐标，即可求出点M到y轴的距离．
[解析] 解法1：椭圆的焦点坐标是(±，0)，点M在以线段F1F2为直径的圆上，该圆的方程是x2＋y2＝3，即y2＝3－x2，代入椭圆得＋3－x2＝1，解得x2＝，即|x|＝，此即点M到y轴的距离．
解法2：由·＝0知，MF1⊥MF2，
∴∴
由|MF1|2＝t·|F1F2|得t＝＋，
∴M到y轴的距离为t－＝.
解法3：设M(x0，y0)，则＋y＝1，
∴y＝1－，①
∵·＝0，∴MF1⊥MF2，
∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝12，
又F1(－，0)，F2(，0)，
∴(x0＋)2＋y＋(x0－)2＋y＝12，
将①代入解得x0＝±，
∴M到y轴的距离为.
[点评] 满足·＝0(其中A，B是平面上两个不同的定点)的动点M的轨迹是以线段AB为直径的圆．
(理)(2011·河北石家庄一模)已知椭圆＋＝1的焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若连接F1，F2，P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是( )
A. B．3
C. D.
[答案] A
[解析] F1(0，－3)，F2(0,3)，∵3<4，
∴∠F1F2P＝90°或∠F2F1P＝90°.
设P(x,3)，代入椭圆方程得x＝±.
即点P到y轴的距离是.
5．(文)(2011·山东淄博重点中学期中)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[答案] D
[解析] 2a＝12，∴a＝6，∵e＝＝，
∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选D.
(理)(2011·长沙模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
[答案] A
[解析] 由x2＋y2－2x－15＝0得，(x－1)2＋y2＝16，
∴r＝4，∴2a＝4，∴a＝2，
∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.故选A.
6．(2011·银川二模)两个正数a、b的等差中项是，等比中项是 ，且a>b，则椭圆＋＝1的离心率e等于( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由题意可知又因为a>b，
所以解得所以椭圆的半焦距为c＝，
所以椭圆的离心率e＝＝，故选C.
7．(2011·南京模拟)已知P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，若·＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为________．
[答案]
[解析] ∵·＝0，∴PF1⊥PF2，
在Rt△PF1F2中，tan∠PF1F2＝＝，
设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，
由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a，∴x＝，
∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴x2＋4x2＝4c2，
∴a2＝4c2，∴e＝＝.
8．(文)已知实数k使函数y＝coskx的周期不小于2，则方程＋＝1表示椭圆的概率为________．
[答案]
[解析] 由条件≥2，∴－π≤k≤π，
当00，n>0)，则当mn取得最小值时，椭圆＋＝1的离心率是________．
[答案]
[解析] ∵m>0，n>0
∴1＝＋≥2，
∴mn≥8，当且仅当＝，即n＝2m时等号成立，
由解得m＝2，n＝4.
即当m＝2，n＝4时，mn取得最小值8，
∴离心率e＝＝.
9．(2011·湖南长沙一中月考)直线l：x－y＝0与椭圆＋y2＝1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为________．
[答案]
[解析] 设与l平行的直线方程为x－y＋a＝0，当此直线与椭圆的切点为C时，△ABC的面积最大，将y＝x＋a代入＋y2＝1中整理得，3x2＋4ax＋2(a2－1)＝0，由Δ＝16a2－24(a2－1)＝0得，a＝±，两平行直线x－y＝0与x－y＋＝0的距离d＝，将y＝x代入＋y2＝1中得，x1＝－，x2＝，
∴|AB|＝|－(－)|＝，
∴S△ABC＝|AB|·d＝××＝.
10．(2011·北京文，19)已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
[解析] (1)由已知得，c＝2，＝，
解得a＝2，
又b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，
由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x10)，
若Γ为椭圆，则离心率为e＝＝，
若Γ为双曲线，则离心率为＝.
(理)(2011·许昌月考)已知双曲线－＝1与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，其中a1>0，a2>b>0，那么以a1、a2、b为边长的三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
[答案] B
[解析] 12＝ee＝·＝·，则aa＝aa＋(a－a)b2－b4，所以a－a＝b2，则以a1、a2、b为边长的三角形是以a2为斜边的直角三角形，故选B.
13．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点作圆x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝90°(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为________．
[答案]
[解析] 因为∠AOB＝90°，所以∠AOF＝45°，所以＝，所以e2＝＝＝1－＝，即e＝.
14．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A(2,0)为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且·＝0，|－|＝2|－|，则其焦距为________．
[答案]
[解析] 由题意可知||＝||＝||，且a＝2，
又∵|－|＝2|－|，
∴||＝2||.∴||＝||.
又∵·＝0，∴⊥.∴||＝||＝.
如图，在Rt△AOC中，
易求得C(1，－1)，
代入椭圆方程得＋＝1?b2＝，
∴c2＝a2－b2＝4－＝.
∴c＝，2c＝.
15．(文)(2012·广东文，20)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．
[解析] (1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，
所以c＝1，
将点P(0,1)代入椭圆方程＋＝1，得＝1，
即b2＝1，所以a2＝b2＋c2＝2，
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，
由消去y并整理得，(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0
因为直线l与椭圆C1相切，
所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0
整理得2k2－m2＋1＝0，①
由消去y并整理得，
k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，
因为直线l与抛物线C2相切，
所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，
整理得km＝1，②
综合①②，解得或
所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.
(理)(2012·山西四校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足＋＝t(O为坐标原点)，当|－|<时，求实数t的取值范围．
[解析] (1)由题意知：e＝＝，
∴e2＝＝＝，∴a2＝2b2.
又∵圆x2＋y2＝b2与直线x－y＋＝0相切，
∴b＝1，∴a2＝2，
故所求椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则其方程为：y＝k(x－2)．
由消去y得，(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，
Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－2)>0，∴k2<.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∵＋＝t，∴(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，x＝＝，y＝＝[k(x1＋x2)－4k]＝.
∵点P在椭圆上，∴＋2＝2，
∴16k2＝t2(1＋2t2)．
∵|－|<，∴|x1－x2|<，
∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]<，
即(1＋k2)[－4·]<，
∴(4k2－1)(14k2＋13)>0，解得：k2>，
∴b>0)，
由题意知a＝2，b＝c，
又a2＝b2＋c2，则b＝，所以椭圆方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，直线l的斜率存在，
设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立
即，消去y得，
(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，
Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0
由韦达定理知
又＝2，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，
∴－x1＝2x2，∴
∴＝－22，
整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，
又9m2－4＝0时不成立，所以k2＝>0，
得0，
所以m的取值范围为∪.
(理)椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．
[解析] (1)由题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
∵e＝，即＝，∴a＝2c，
又b2＝a2－c2＝3c2，∴椭圆方程为＋＝1.
又∵椭圆过点A(2,3)，∴＋＝1，
解得c2＝4，∴椭圆方程为＋＝1.
(2)法一：由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴直线AF1的方程y＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0，
直线AF2的方程为x＝2.
设P(x，y)为角平分线上任意一点，则点P到两直线的距离相等．
即＝|x－2|，
∴3x－4y＋6＝5(x－2)或3x－4y＋6＝5(2－x)，
即x＋2y－8＝0或2x－y－1＝0.
由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F1AF2的平分线所在直线方程为2x－y－1＝0.
法二：设AM平分∠F1AF2，则直线AF1与直线AF2关于直线AM对称．
由题意知直线AM的斜率存在且不为0，设为k.
则直线AM方程y－3＝k(x－2)．
由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴直线AF1方程为y＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.
设点F2(2,0)关于直线AM的对称点F2′(x0，y0)，
则
解之得F2′(，)．
∵直线AF1与直线AF2关于直线AM对称，
∴点F2′在直线AF1上．
即3×－4×＋6＝0.
解得k＝－或k＝2.
由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，
∴k＝－(舍去)．
故∠F1AF2的角平分线所在直线方程为2x－y－1＝0.
法三：∵A(2,3)，F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴＝(－4，－3)，＝(0，－3)，
∴＋＝(－4，－3)＋(0，－3)
＝－(1,2)，
∴kl＝2，∴l：y－3＝2(x－2)，即2x－y－1＝0.
[点评] 因为l为∠F1AF2的平分线，∴与的单位向量的和与l共线．从而可由、的单位向量求得直线l的一个方向向量，进而求出其斜率．
1．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] B
[解析] 点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，
∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．
2．若直线mx＋ny＝4和圆x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．至多一个 B．2个
C．1个 D．0个
[答案] B
[解析] ∵直线与圆无交点，∴>2，∴m2＋n2<4，∴点(m，n)在圆内，又圆在椭圆内，∴点(m，n)在椭圆内，故过点(m，n)的直线与椭圆有两个交点．
3．(2012·沈阳市二模)已知F1、F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y≠0) B.＋y2＝1(y≠0)
C.＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋＝1(y≠0)
[答案] C
[解析] 椭圆C：＋＝1中，a2＝4，b2＝3，
∴c2＝a2－b2＝1，∴焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，
设G(x，y)，P(x1，y1)，则，∴，
∵P在椭圆C上，∴＋＝1，∴＋3y2＝1.
当y＝0时，点G在x轴上，三点P、F1、F2构不成三角形，
∴y≠0，∴点G的轨迹方程为＋3y2＝1.(y≠0)．
4．(2012·河南商丘二模)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，M，N是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] M(－a,0)，N(a,0)，设P(x0，y0)，则k1＝，k2＝，∴k1k2＝，由P在椭圆上知，＋＝1，∴＝a2－x，∴k1k2＝－，|k1k2|＝为定值，∴|k1|＋|k2|≥2＝，∴＝1，∴a＝2b，
∴a2＝4b2＝4(a2－c2)，∴e2＝，∴e＝.
5．(2011·江西理，14)若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
[答案] ＋＝1
[解析] 点在圆外，过点(1，)与圆相切的一条直线方程为x＝1，一个切点为(1,0)，
设另一条切线的方程为y＝m(x－1)＋，
由＝1得m＝－，故另一条切线的方程为y＝－x＋代入圆的方程联立解得切点为，则直线AB的方程为y＝－2x＋2，故椭圆的上顶点坐标为(0,2)．因此c＝1，b＝2，a＝，所求椭圆方程为＋＝1.
[点评] 直接设另一条切线的切点为(m，n)，解得切点坐标(，)更简便．
6．(2012·新疆维吾尔自治区模拟)已知椭圆G的方程为＋＝1(a>b>0)，它与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点，点D(0,4)，若·＝－3，||＝2.
(1)求椭圆G的方程；
(2)过点D的直线l交椭圆G于M，N两点，若∠NMO＝90°，求|MN|的长．
[解析] (1)∵A(－a,0)、B(a,0)、D(0,4)、C(0，b)，
·＝－3，||＝2，
∴，
∴a2＝4，b2＝1，
∴椭圆G的方程为＋y2＝1.
(2)设M(x1，y1)，则有
?x1＝±，y1＝，
∴直线l的斜率k＝±
则直线l的方程为y＝±x＋4，
由?21x2±32x＋60＝0，
∴x1＋x2＝±，x1x2＝.
∴|MN|＝＝.
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