1.纸制的正方体的六个面根据其实际方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是( )
A．南 B．北
C．西 D．下
[答案] A
[解析] 将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为上，最右面为东，则前面为△，可知“△”的实际方位为南．
2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个三棱柱的体积是( )
A．96 B．48 C．24 D．16
[答案] B
[解析] 已知正三棱柱的高为球的直径，底面正三角形的内切圆是球的大圆．设底面正三角形的边长为a，球的半径为R，则a＝2R，又πR3＝，∴R＝2，a＝4，于是V＝a2·2R＝48.
3．(2012·新课标全国，7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
A．6 B．9
C．12 D．18
[答案] B
[解析] 由三视图知，该几何体是一个三棱锥，由俯视图知三棱锥的底面是等腰三角形，底边长为6，底边上的高为3，面积S＝×6×3＝9，由正视图和侧视图可知棱锥的高为3，∴体积V＝×9×3＝9.
4．(文)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A．2 B．1
C. D.
[答案] B
[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，其直观图如图所示，其体积为V＝××1×＝1.
(理)(2011·潍坊二检)如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析]
截去一角在正视图中位于左侧上部，在侧视图中位于右侧上部，结合俯视图可知，截去的一角应位于几何体的上部左前方，可画出多面体的形状如图．这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－×(×2×2)×2＝.
5．(文)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2π＋2 B．4π＋2
C．2π＋ D．4π＋
[答案] C
[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成．故该几何体的体积为V＝π×12×2＋×()2×＝2π＋，故选C.
[点评] 由三视图想象几何体的形状时，一要注意常见柱、锥、台的三视图结构特征，二要注意方位，三要注意细节．
本题中正视图与侧视图都不变，若俯视图中把外部的圆改为正方形，则几何体就是上部为正四棱锥，下部为正四棱柱的组合体．
(理)(2011·湖南文，4)设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．9π＋42 B．36π＋18
C.π＋12 D.π＋18
[答案] D
[解析] 由三视图可知，该几何体是一个球体和一个长方体的组合体．其中，V球＝π·()3＝，V长方体＝2×3×3＝18.所以V总＝π＋18.
6.(2012·山西高考联合模拟)一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其正视图和侧视图如图所示，则这个几何体最多可由这样的正方体组成的个数为( )
A．12个 B．13个
C．14个 D．18个
[答案] B
[解析] 由正视图知该几何体有三列，左右两排都存在2层的情形，中间一排，只有一层，由侧视图知，该几何体有三行，前后两排都存在2层的情形，中间一排只有一层，因此此几何体最多可由13个小正方体组成，你能求出最少可由多少个小正方体构成吗？
7．圆台的上、下底半径分别为2和4，母线长为4，则截得此圆台的圆锥侧面展开图的中心角为________．
[答案] π
[解析] 如图，设PD＝x，则＝，∴x＝4，
∴θ＝×2π＝π.
8．一个底面半径为1，高为6的圆柱被一个平面截下一部分，如图(1)所示，截下部分的母线最大长度为2，最小长度为1，则截下部分的体积是________．
[答案]
[解析] 根据对称性把它补成如图(2)所示的圆柱，这个圆柱的高是3，体积是所求几何体体积的2倍，故所求的几何体的体积是×π×12×3＝.故填.
9．圆柱内切球的表面积为4π，则圆柱的表面积为________．
[答案] 6π
[解析] 设球半径为R(R>0)，则圆柱的底面半径为R，高为2R，由条件知，4πR2＝4π，∴R＝1.
∴圆柱的表面积S＝2π·R2＋2πR·2R＝6πR2＝6π.
10．已知P在矩形ABCD的边DC上，AB＝2，BC＝1，F在AB上且DF⊥AP，垂足为E，将△ADP沿AP折起，使点D位于D′位置，连接D′B、D′C得四棱锥D′－ABCP.
(1)求证：D′F⊥AP；
(2)若PD＝1，且平面D′AP⊥平面ABCP，求四棱锥D′－ABCP的体积．
[解析] (1)∵AP⊥D′E，AP⊥EF，D′E∩EF＝E，
∴AP⊥平面D′EF，∴AP⊥D′F.
(2)∵PD＝1，∴四边形ADPF是边长为1的正方形，
∴D′E＝DE＝EF＝，
∵平面D′AP⊥平面ABCP，D′E⊥AP，∴D′E⊥平面ABCP，
∵S梯形ABCP＝×(1＋2)×1＝，
∴VD′－ABCP＝×D′E×S梯形ABCP＝.
能力拓展提升
11.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.动点E，F在棱A1B1上，点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上．若EF＝1，DP＝x，A1E＝y(x，y大于零)，则三棱锥P－EFQ的体积( )
A．与x，y都有关 B．与x，y都无关
C．与x有关，与y无关 D．与y有关，与x无关
[答案] C
[解析] 设P到平面EFQ的距离为h，则VP－EFQ＝×S△EFQ·h，由于Q为CD的中点，∴点Q到直线EF的距离为定值，又EF＝1，∴S△EFQ为定值，而P点到平面EFQ的距离，即P点到平面A1B1CD的距离，显然与x有关与y无关，故选C.
12．(2011·陕西文，5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )
A．8－ B．8－
C．8－2π D.
[答案] A
[解析] 由三视图知，原几何体为如图所示一正方体挖去一个与正方体等高底面是正方形的内切圆的圆锥，则其体积为V＝23－π×12×2＝8－.故选A.
13．(2011·东北三校)一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由三视图知，这是一个四棱锥，其底面为正方形，一条侧棱垂直于底面其长度为2，底面正方形对角线长为1，∴边长为，体积V＝×()2×2＝.
14．(文)一等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为24π，一圆锥与此圆柱一个底面重合，顶点在另一个底面上，则此圆锥的表面积为________．
[答案] 4(＋1)π
[解析] 设圆柱底半径为R，则2πR2＋2πR·2R＝24π，∴R＝2，
∴圆锥的底半径为R＝2，高为4，
母线长l＝＝2，
∴圆锥的表面积S＝πR2＋πRl＝4π＋4π＝4(＋1)π.
(理)圆锥的高为4，侧面积为15π，其内切球的表面积为________．
[答案] 9π
[解析]
设圆锥底面半径为r(r>0)，则母线长l＝，由πrl＝15π得r·＝15，解之得r＝3，∴l＝5.
设内切球半径为R，作出圆锥的轴截面如图，则BD＝BO1＝3，PD＝5－3＝2，PO＝4－R，
∵OD⊥PB，
∴R2＋4＝(4－R)2，∴R＝，
∴球的表面积S＝4πR2＝9π.
15．(文)
(2011·安徽省淮南市模拟)如图是以正方形ABCD为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，且AB＝BC＝，AE＝1，BF＝DH＝2，CG＝3.
(1)证明：截面四边形EFGH是菱形；
(2)求几何体C－EFGH的体积．
[解析] (1)证明：因为平面ABFE∥平面CDHG，
且平面EFGH分别交平面ABFE、平面CDHG于直线EF、GH，所以EF∥GH.同理，FG∥EH.
因此，四边形EFGH为平行四边形．
因为BD⊥AC，而AC为EG在底面ABCD上的射影，
所以EG⊥BD.
因为BF綊DH，所以FH∥BD.因此，FH⊥EG.
所以四边形EFGH是菱形．
(2)解：连接CE、CF、CH、CA，
则VC－EFGH＝V－VC－ABFE－VC－ADHE，其中V是几何体的体积，∵AE＝1，BF＝DH＝2，CG＝3且几何体是以正方形ABCD为底面的正四棱柱的一部分，
所以该几何体的体积为
V＝()2×2＝4，
VC－ABFE＝×S四边形ABFE×BC
＝×(AE＋BF)×AB×BC
＝×(1＋2)××＝1.
同理，得VC－ADHE＝1，
所以，VC－EFGH＝V－VC－ABFE－VC－ADHE＝4－1－1＝2，
即几何体C－EFGH的体积为2.
(理)(2011·江西文)如图在△ABC中，∠B＝，AB＝BC＝2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD.
(1)当棱锥A′－PBCD的体积最大时，求PA的长；
(2)若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：A′B⊥DE.
[解析] (1)令PA＝x(00，f(x)单调递增；
当x∈(，2)时，f ′ (x)<0，f(x)单调递减．
所以，当x＝时，f(x)取得最大值，
即当VA′－PBCD最大时，PA＝.
(2)设F为A′B的中点，连接PF， FE，则有
EF綊BC，PD綊BC，∴EF綊PD，
∴四边形EFPD为平行四边形，∴DE∥PF.
又A′P＝PB，所以PF⊥A′B，故DE⊥A′B.
16．(2012·新课标全国文，19)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．
(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；
(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
[分析] (1)证两个平面垂直，可转化为在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直；
(2)平面BDC1分棱柱成两部分，下面部分B－ADC1C为四棱锥，可直接求体积，上面部分可用间接法求得体积，从而确定两部分体积之比．
[解析] (1)由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，
所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.
又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.
又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.
(2)设棱锥B－DACC1的体积为V1，AC＝1.
由题意得，V1＝××1×1＝.
又三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝1，所以(V－V1)V1＝11.
故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为11.
[点评] 本题考查线面的位置关系及几何体体积的求法．求解几何体的体积时，若遇不规则的几何体时，经常采用割补法和间接法求其体积．
1．用单位正方体搭几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，则符合条件的几何体体积的最小值与最大值分别是( )
A．9, 13 B．7,16
C．10,15 D．10,16
[答案] D
[解析] 由俯视图知底层有七个小正方体，结合正视图知，最左边一列，最多都是三层，最少只有一行是三层，故左边一列最多9个、最少5个；中间一列最多都是二层有6个，最少只有一行二层，共4个；右边一列只一层一行，故最多9＋6＋1＝16个，最少5＋4＋1＝10个．
2．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( )
A．280 B．292
C．360 D．372
[答案] C
[解析] 由三视图知该几何体是两个长方体的组合体，上面的长方体的表面积为(6×8)×2＋(8×2)×2＋6×2＝140.
下面的长方体的表面积为(10×8)×2＋(10×2)×2＋(8×2)×2－6×2＝220.
故表面积为140＋220＝360.选C.
3．如图，已知在多面体ABC－DEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
[答案] B
[解析] 补成长方体ABMC－DEFN并连接CF，易知三棱锥F－BCM与三棱锥C－FGN的体积相等，故几何体体积等于长方体的体积4.故选B.
[点评] 1.也可以用平面BCE将此几何体分割为两部分，设平面BCE与DG的交点为H，则ABC－DEH为一个直三棱柱，由条件易证EH綊FG綊BC，平面BEF∥平面CHG，且△BEF△CHG，∴几何体BEF－CHG是一个斜三棱柱，这两个三棱柱的底面都是直角边长为2和1的直角三角形，高都是2，∴体积为4.
2．如图(2)，几何体ABC－DEFG也可看作棱长为2的正方体中，取棱AN、EK的中点C、F，作平面BCGF将正方体切割成两部分，易证这两部分形状相同，体积相等，∴VABC－DEFG＝×23＝4.
4．在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )
[答案] B
[解析] 球与正三棱锥底面的切点为底面正三角形的中心，故在截面图中，此切点将截面三角形的这一条边(底面正三角形的高)分为12两部分，截面过三棱锥的高和一条侧棱，故截面图中球大圆与侧棱外离且圆心在三角形的高(即棱锥的高)上，这条高应是顶点与底面中心的连线段，故选B.
5．四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内(含边界)运动，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是( )
[答案] B
[解析] 由满足条件MP＝MC，可知点M应在线段PC的所有中垂线构成的平面α内，又点M在正方形ABCD内，所以点M的轨迹平面α与平面ABCD的交线，则必为直线，故D不正确．又BP不等于BC，故A不正确．由题意知PD＝DC，所以D点在M的轨迹上．设E、F分别为AB、AD的中点，连接PF、EF，则PF⊥EF.设AB＝2，则PF＝，EF＝，所以PE＝.在Rt△CBE中，BC＝2，BE＝1，则CE＝＝EP，所以AB边中点E也在点M的轨迹上，则点M的轨迹为线段DE.
6．(2012·吉林省实验中学模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是1 的圆，则这个几何体的体积是( )
A. B．π
C. D.
[答案] B
[解析] 由三视图知，该几何体是半径为1的球去掉了半球的一半，故几何体是个球，体积V＝×(π·13)＝π.
7．(2012·河南六市联考)如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1.
(1)求证：AB∥平面PCD；
(2)求证：BC⊥平面PAC；
(3)若M是PC的中点，求三棱锥M－ACD的体积．
[解析] (1)由已知底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，
又AB?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AB∥平面PCD.
(2)在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，
∴AE＝DC＝1
又AB＝2，∴BE＝1，
在Rt△BEC中，∠ABC＝45°，
∴CE＝BE＝1，CB＝，∴AD＝CE＝1，
则AC＝＝，AC2＋BC2＝AB2，
∴BC⊥AC.
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
(2)∵M是PC中点，
∴M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半．
∴VM－ACD＝S△ACD·(PA)＝×(×1×1)×＝.
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