1.(2011·北京西城模拟)已知两条不同的直线a，b和两个不同的平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
?a⊥b；
?α⊥β.
2．(文)(2011·唐山模拟)已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a，在平面α内一定存在一条直线b，使得a与b( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
[答案] D
[解析] 当a与α相交时，平面内不存在直线与a平行；当a∥α时，平面内不存在直线与a相交；当a?平面α时，平面α内不存在直线与a异面；无论a在何位置，a在平面α内总有射影a′，当b?α，b⊥a′时，有b⊥a，故选D.
(理)(2011·青岛模拟)设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确命题的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
[答案] C
[解析] ?α⊥β； l∥β，此时可能l?β，?/ l⊥α，此时l与α还可能平行、斜交，故选C.
3．(文)(2011·安徽省皖南八校联考)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α
B．若l⊥α，m?α，则l⊥m
C．若l∥α，l∥m，则m∥α
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
[答案] B
[解析] 直线垂直于平面中两条相交直线，才能垂直于平面，故A错；C中m可能包含在平面α中；D中两条直线可能平行、相交或异面．
(理)(2011·东莞模拟)若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①α⊥γ，β⊥γ?α⊥β；②α⊥γ，β∥γ?α⊥β；
③l∥α，l⊥β?α⊥β.
其中的真命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] C
[解析] ①中α与β可能平行，故①错，②③正确．
4．(2012·河北邯郸临漳一中模拟)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )
A. B．3
C. D．2
[答案] A
[解析] 由三视图知，该几何体是一个横放的四棱锥P－ABCD，其底面ABCD为直角梯形，AB＝1，CD＝2，高BC＝1，棱锥的高PC＝1，
∴体积V＝×[×(1＋2)×1]×1＝.
5.(2012·广东深圳一调)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，A1A＝AB＝2，BC＝1，AC＝，若规定正(主)视方向垂直平面ACC1A1，则此三棱柱的侧(左)视图的面积为( )
A. B．2
C．4 D．2
[答案] A
[解析]
过B作BE⊥AC，垂足为E，平面B1BE交A1C1于E1，则BE＝，由题意根据三视图的规则知，几何体的侧视图表示长为，宽为2的矩形，所以几何体的侧视图的面积为S＝×2＝，故选A.
6．(文)(2011·济宁三模)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 解法1：取BC中点E，连接AE、A1E，过点A作AF⊥A1E，垂足为F.
∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥BC，
∵AB＝AC.∴AE⊥BC.
∴BC⊥平面AEA1.
∴BC⊥AF，又AF⊥A1E，
∴AF⊥平面A1BC.
∴AF的长即为所求点A到平面A1BC的距离．
∵AA1＝1，AE＝，∴AF＝.
解法2：VA1－ABC＝S△ABC·AA1＝××1＝.
又∵A1B＝A1C＝，
在△A1BE中，A1E＝＝2.
∴S△A1BC＝×2×2＝2.
∴VA－A1BC＝×S△A1BC·h＝h.
∴h＝，∴h＝.∴点A到平面A1BC距离为.
(理)(2011·海淀检测)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A. B．1
C. D.
[答案] D
[解析] 依题可知∠B1AB＝60°，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，A1C1?平面A1B1C1D1，
∴B1B即为所求距离，在△ABB1中得，
B1B＝.故选D.
7．(文)(2011·扬州模拟)已知直线l，m，n，平面α，m?α，n?α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)
[答案] 充分不必要
[解析] 若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α.
(理)(2011·揭阳模拟)设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面，其中使“x⊥z且y⊥z?x∥y”为真命题的序号是________．
[答案] ②③
[解析] 当x、y为直线，z为平面时，有x⊥z，y⊥z?x∥y；当x、y为平面，z为直线时，有x⊥z，y⊥z?x∥y，故②③正确．
[点评] 由正方体交于同一个顶点的三条棱和三个面知①④均使命题为假命题．
8．(2011·苏州模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
④若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n.
其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号)________．
[答案] ①④
?α⊥β；
②如图，m为B1C1，n为A1B1，α为平面ADD1A1，β为平面ABCD，满足②的条件，故②错；
③在上图中，将A1B1、B1C1改为m、n，满足m⊥α，n⊥β，m⊥n，故③错；
?m⊥n.
9.
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
[答案] DM⊥PC
[解析] ∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA，
∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，
故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD，
从而有平面PCD⊥平面MBD.
10．(文)
底面是平行四边形，侧棱垂直于底面的棱柱称为直平行六面体．如图，在直平行六面体AC1中，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AC∩BD＝O，AB＝AA1.
(1)求证：C1O∥平面AB1D1；
(2)求证：平面AB1D1⊥平面ACC1A1.
[证明] (1)连接A1C1交B1D1于O1，连接AO1.
在平行四边形AA1C1C中，C1O1∥AO，C1O1＝AO，
∴四边形AOC1O1为平行四边形，∴C1O∥AO1.
∵C1O?平面AB1D1，AO1?平面AB1D1，
∴C1O∥平面AB1D1.
(2)在直平行六面体AC1中，
A1A⊥平面A1B1C1D1，∴A1A⊥B1D1.
∵四边形A1B1C1D1为菱形，∴B1D1⊥A1C1.
∵A1C1∩AA1＝A1，A1C1?平面ACC1A1，AA1?平面ACC1A1，∴B1D1⊥平面ACC1A1.
∵B1D1?平面AB1D1，∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1.
(理)(2012·北京东城二模)如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB∥NC，MN⊥MB.
(1)求证：平面AMB∥平面DNC；
(2)若MC⊥CB，求证BC⊥AC.
[解析] (1)因为MB∥NC，MB?平面DNC，NC?平面DNC，所以MB∥平面DNC.
因为四边形AMND是矩形，所以MA∥DN.
又MA?平面DNC，DN?平面DNC，
所以MA∥平面DNC.
又MA∩MB＝M，且MA，MB?平面AMB，
所以平面AMB∥平面DNC.
(2)因为四边形AMND是矩形，所以AM⊥MN.
因为平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND∩平面MBCN＝MN，所以AM⊥平面MBCN.
因为BC?平面MBCN，所以AM⊥BC.
因为MC⊥BC，MC∩AM＝M，所以BC⊥平面AMC.
因为AC?平面AMC，所以BC⊥AC.
能力拓展提升
11.(2012·安徽理，6)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] ①∵α∩β＝m，b?β，α⊥β，b⊥m，∴b⊥α，
又∵a?α，∴b⊥a.②当a?α，a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a，而此时平面α与平面β不一定垂直，故选A.
12．(文)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是( )
A．m⊥α，n?β，m⊥n?α⊥β
B．α∥β，m⊥α，n∥β?m⊥n
C．α⊥β，m⊥α，n∥β?m⊥n
D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m?n⊥β
[答案] B
[解析] 如下图(1)满足m⊥α，n?β，m⊥n，但β∥α，故A错；
?m⊥n，故B对；
如图(2)满足α⊥β，m⊥α，n∥β，但m∥n，故C错；
如图(3)α⊥β，α∩β＝m，
AB⊥m于B，BC⊥m于B，直线AC为直线n，显然满足D的条件，但不能得出n⊥β.故D错．∴选B.
(理)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，A1D与BC1所成的角为，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 连接B1C，∴B1C∥A1D，
∵A1D与BC1所成的角为，∴B1C⊥BC1，
∴长方体ABCD－A1B1C1D1为正方体，取B1D1的中点M，连接C1M，BM，∴C1M⊥平面BB1D1D，∴∠C1BM为BC1与平面BB1D1D所成的角，
∵AB＝BC＝2，∴C1M＝，BC1＝2，
∴sin∠C1BM＝＝，故选B.
13．(文)(2010·河北唐山)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠ADC＝90°，且AA1＝AD＝DC＝2，M∈平面ABCD，当D1M⊥平面A1C1D时，DM＝________.
[答案] 2
[解析] ∵DA＝DC＝DD1且DA、DC、DD1两两垂直，故当点M使四边形ADCM为正方形时，D1M⊥平面A1C1D，∴DM＝2.
(理)(2011·西安模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．
[答案] 60°
[解析]
如图，取BC中点E，连结DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C 1C所成的角．设各棱长为1，则
AE＝，DE＝，
tan∠ADE＝＝＝，∴∠ADE＝60°.
14．(2012·山西联考)已知四棱锥P－ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形，AB＝2AD＝4，则球O的表面积为________．
[答案] π
[解析] 过P作PE∥AB交球面于E，连结BE、CE，则BE∥AP，CE∥DP，
∴三棱柱APD－BEC为正三棱柱，
∵△PAD为正三角形，∴△PAD外接圆的半径为，
∴球O的半径R＝＝，
∴球O的表面积S＝4πR2＝π.
15．(文)
(2011·北京石景山测试)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BB1，DD1和CC1的中点．
(1)求证：C1F∥平面DEG；
(2)求三棱锥D1－A1AE的体积；
(3)试在棱CD上求一点M，使D1M⊥平面DEG.
[解析] (1)证明：∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，F，G分别为棱DD1和CC1的中点，
∴DF∥GC1，且DF＝GC1.
∴四边形DGC1F是平行四边形．∴C1F∥DG.
又C1F?平面DEG，DG?平面DEG，
∴C1F∥平面DEG.
(2)正方体ABCD－A1B1C1D1中，有A1D1⊥平面AA1E.
∴A1D1是三棱锥D1－A1AE的高，A1D1＝1.
∴VD1－A1AE＝·S△A1AE·D1A1
＝××1×1×1＝.
(3)当M为棱CD的中点时，有D1M⊥平面DEG.
正方体ABCD－A1B1C1D1中，有BC⊥平面CDD1C1，
又∵D1M?平面CDD1C1，BC∥EG，∴EG⊥D1M.
又∵tan∠GDC＝tan∠MD1D＝，
∴∠GDC＝∠MD1D，∴∠MD1D＋∠D1DG＝∠GDC＋∠D1DG＝90°，∴D1M⊥DG.
又DG∩EG＝G，∴D1M⊥平面DEG.
(理)
如图，已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝DD1＝2AD＝2AB＝2.
(1)求证：DB⊥平面B1BCC1；
(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E∥平面A1BD，并说明理由．
[解析] (1)证明：∵AB∥DC，AD⊥DC，∴AB⊥AD，在Rt△ABD中，AB＝AD＝1，∴BD＝，
易求BC＝，又∵CD＝2，∴BD⊥BC.
又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B，∴BD⊥平面B1BCC1.
(2)DC的中点即为E点．
∵DE∥AB，DE＝AB，
∴四边形ABED是平行四边形．∴AD綊BE.
又AD綊A1D1，∴BE綊A1D1，
∴四边形A1D1EB是平行四边形．∴D1E∥A1B.
∵D1E?平面A1BD，A1B?平面A1BD，∴D1E∥平面A1BD.
16．(文)(2011·北京文，17)如图，在四面体PABC中，PC⊥AB、PA⊥BC，点D、E、F、G分别是棱AP、AC、BC、PB的中点．
(1)求证：DE∥平面BCP；
(2)求证：四边形DEFG为矩形；
(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．
[解析] (1)因为D，E分别为AP，AC的中点，
所以DE∥PC，
又因为DE?平面BCP，PC?平面BCP，
所以DE∥平面BCP.
(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG为平行四边形，
又因为PC⊥AB，
所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形．
(3)存在点Q满足条件，理由如下：
连接DF，EG，设Q为EG的中点，
由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝EG，
分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.
与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝EG，
所以Q为满足条件的点．
(理)(2012·北京文，16)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
[分析] (1)利用线面平行判定定理证明(关键证明DE∥BC)．
(2)由平面图形知折叠后，，由线面垂直判定定理证得DE⊥平面A1CD，则DE⊥A1F，又由A1F⊥CD，易证得A1F⊥平面BCDE，则A1F⊥BE.
(3)采取先找再证的办法处理．由DA1＝DC联想到等腰三角形底边上的中线是底面边上的高，可取A1C中点，再由“中点找中点”原则取A1B中点Q，证明A1C⊥平面DEQ(利用(2)中的DE⊥平面A1DC这一结论)．
[解析] (1)因为D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE∥BC.
又因为DE?平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.
(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC.
所以DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.
而A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD，
所以A1F⊥平面BCDE.
所以A1F⊥BE.
(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.
理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.
又因为DE∥BC，所以DE∥PQ，
所以平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，
所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰直角三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP.
所以A1C⊥平面DEP.
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.
[点评] (1)本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，性质定理，折叠问题，存在性问题等．
(2)对于折叠问题，关键是看清折叠前后各量的变化与不变(包括长度、角度、位置关系等)，对于存在性问题，一般采取先找再证(取特例)的办法解决．
1．定点A和B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面α内的轨迹是( )
A．一条线段，但要去掉两个点
B．一个圆，但要去掉两个点
C．一个椭圆，但要去掉两个点
D．半圆，但要去掉两个点
[答案] B
[解析] 连接BC，∵PB⊥α，∴AC⊥PB.
又∵PC⊥AC，∴AC⊥BC.
∴C在以AB为直径的圆上．故选B.
2．(2011·北京海淀区期末)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中不正确的是( )
A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
B．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D．若m⊥α，m?β，则α⊥β
[答案] A
[解析] 选项A中，直线m与直线n也可能异面，因此A不正确．
3.
(2012·武汉市训练)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点E为AA1的中点，在对角面BB1D1D上取一点M，使AM＋ME最小，其最小值为________．
[答案] a
[解析] 过点M作MN⊥平面ABCD交BD于点N，连结AN.设MN＝x(0≤x≤a)，
AN＝y(a≤y≤a)，则AM＋ME＝＋≥＋
＝＋.
设f(x)＝＋，
则f ′(x)＝＋ .
令f ′(x)＝0，得x＝；令f ′(x)>0，得
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