1.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为侧面CC1D1D的中心．若＝z＋x＋y，则x＋y＋z的值为( )
A．1 B. C．2 D.
[答案] C
[解析] ∵＝＋＝＋＋.
∴x＋y＋z＝1＋＋＝2.
2．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的可能是( )
A．a＝(1,0,0)，n＝ (－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，n＝(1，－2,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D．a＝(1，－1,3)， n＝(0,3，－1)
[答案] B
[解析] 欲使l∥α，应有n⊥a，∴n·a＝0，故选B.
3．二面角α－l－β等于60°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长等于( )
A.a B.a
C．2a D．a
[答案] C
[解析] 如图．∵二面角α－l－β等于60°，
∴与夹角为60°.
由题设知，⊥，⊥，||＝||＝a，||＝2a，
||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝4a2，∴||＝2a.
4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(4,5，x)，若a、b、c三向量共面，则|c|＝( )
A．5 B．6
C. D.
[答案] C
[解析] ∵a、b、c三向量共面，
∴存在实数λ、μ，使c＝λa＋μb，
∴(4，－5，x)＝(2λ－μ，－λ＋4μ，3λ－2μ)，
∴∴x＝5，
∴|c|＝＝.
5．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则·的值为( )
A．a2 B.a2
C.a2 D.a2
[答案] C
[解析] ·＝(＋)·
＝(·＋·)
＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.
故选C.
6．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足＝－＋，则||2的值为( )
A. B．2
C. D.
[答案] D
[解析] 由题意，翻折后AC＝AB＝BC，
∴∠ABC＝60°，∴||2＝|－＋|2
＝||2＋||2＋||2－·－·＋·＝＋＋2－×1×1×cos60°－1×cos45°＋1××cos45°＝.
7．(2012·河南六市联考)如图，在平行四边形ABCD中，·＝0,2 2＋ 2＝4，若将其沿BD折成直二面角A－BD－C，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为________．
[答案] π
[解析] 因为AB⊥BD，二面角A－BD－C是直二面角，所以AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AD⊥DC.故△ABC，△ADC均为直角三角形．取AC的中点M，则MA＝MC＝MD＝MB，故点M即为三棱锥A－BCD的外接球的球心．由22＋2＝4?2＋2＋2＝2＝4，∴AC＝2，∴R＝1.故所求球的体积为V＝π.
8．(2011·金华模拟)已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为________．
[答案] (，－1，)
[解析] ∵C为线段AB上一点，
∴存在实数λ>0，使＝λ，
又＝ (－2，－6，－2)，∴＝(－2λ，－6λ，－2λ)，
∵＝，∴λ＝，∴＝(－，－2，－)，
∴C(，－1，)．
9.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．
[答案] 1
[解析] 以D1为原点，直线D1A1、D1C1、D1D为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,1)，B1(1,1,0)，
设DF＝t，CE＝k，则D1F＝1－t，∴F(0,0,1－t)，E(k,1,1)，要使B1E⊥平面ABF，易知AB⊥B1E，故只要B1E⊥AF即可，
∵＝(－1,0，－t)，＝(k－1,0,1)，
∴·＝1－k－t＝0，∴k＋t＝1，即CE＋DF＝1.
10.( 2012·天津调研)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.
(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；
(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PB与平面ABCD所成的角为∠PBA＝45°.
∴AB＝1，由∠ABC＝∠BAD＝90°，
易得CD＝AC＝，∴AC⊥CD.
又∵PA⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC，又CD?平面PCD，
∴平面PAC⊥平面PCD.
(2)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，
设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0,2，－1)．
∵∥，∴y·(－1)－2(z－1)＝0①
∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，
又＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB.
∴⊥.
∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0，∴y＝1.
将y＝1代入①，得z＝.∴E是PD的中点，
∴存在E点使CE∥平面PAB，此时E为PD的中点.
能力拓展提升
11.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为( )
A．150° B．45°
C．60° D．120°
[答案] C
[解析] 由条件知，·＝0，·＝0，
＝＋＋.
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈，〉
＝116＋96cos〈，〉＝(2)2，
∴cos〈，〉＝－，
∴〈，〉＝120°，所以二面角的大小为60°.
12．在棱长为1的正方体AC1中，O1为B1D1的中点．
求证：(1)B1D⊥平面ACD1；
(2)BO1∥平面ACD1.
[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系，由于正方体的棱长为1，
则B(1,0,0)，O1(，，1)，D1(0,1,1)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，B1(1,0,1)，∴＝(－1,1，－1)，＝(0,1,1)，＝(1,1,0)，＝(－，，1)．
(1)∵·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，
∵与不共线，∴⊥平面ACD1，
∴B1D⊥平面ACD1.
(2)∵·＝0，∴⊥，
∴∥平面ACD1.
又BO1?平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1.
[点评] 第(2)问还可以通过证明＝(其中O为AC中点)证明．
13．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
[解析]
(1)证明：∵PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，
∴AD、DC、PD两两垂直，如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设AD＝a，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E(a，，0)、P(0,0，a)、F(，，).＝(－，0，)，＝(0，a,0)．
∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD.
(2)设G(x,0，z)，则＝(x－，－，z－)，
若使GF⊥平面PCB，则
由·＝(x－，－，z－)·(a,0,0)＝a(x－)＝0，得x＝；
由·＝(x－，－，z－)·(0，－a，a)＝＋a(z－)＝0，得z＝0.
∴G点坐标为(，0,0)，即G点为AD的中点．
14．(2011·海口调研)在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E是AD的中点，F是PC的中点．
(1)求证：BE⊥平面PAD；
(2)求证：EF∥平面PAB；
(3)求直线EF与平面PBE所成角的余弦值．
[解析] 解法一： (1)∵E是AD中点，连接PE，
∴AB＝2，AE＝1.
BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE·cos∠BAD
＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3.
∴AE2＋BE2＝1＋3＝4＝AB2，∴BE⊥AE.
又平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，
∴BE⊥平面PAD.
(2)取PB中点为H，连接FH，AH，
∵AE綊BC，又∵HF是△PBC的中位线，
∴HF綊BC，∴AE綊HF，
∴四边形AHFE是平行四边形，∴EF∥AH，
又EF?平面PAB，AH?平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
(3)由(1)知，BC⊥BE，PE⊥BC，
又PE，BE是平面PBE内两相交直线，
∴BC⊥平面PBE，
又由(2)知，HF∥BC，∴HF⊥平面PBE，
∴∠FEH是直线EF与平面PBE所成的角，
易知BE＝PE＝，在Rt△PEB中，EH＝，
∴tan∠FEH＝＝，∴cos∠FEH＝.
故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为.
解法二：容易证明EP，EA，EB两两垂直，建立空间直角坐标系E－xyz如图．
易求BE＝PE＝，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，
B(0，，0)，C(－2，，0)，D(－1,0,0)，P(0,0，)，
因为F是PC的中点，则F(－1，，)．
(1)∵·＝0·1＋·0＝0·0＝0，
∴⊥，即EB⊥EA，
∵·＝0·0＋·0＋0·＝0，
∴⊥，即EB⊥EP，
∵EA，EP是平面PAD内的两相交直线，
∴EB⊥平面PAD.
(2)取PB中点为H，连接FH，AH，则H(0，，)，
∵＝(－1，，)，
＝(0，，)－(1,0,0)＝(－1，，)，
∴∥，
∵又EF?平面PAB，AH?平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
(3)∵y轴?平面PBE，z轴?平面PBE，
∴平面PBE的法向量为n＝(1,0,0)，
∵＝(－1，，)，
设直线EF与平面PBE所成角为θ，
∴sinθ＝＝，∴cosθ＝，
故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为.
15．(2012·辽宁理，18)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M、N分别为A′B和B′C′的中点．
(1)证明：MN∥平面A′ACC′；
(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．
[解析] (1)连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，
AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，
所以M为AB′中点．
又因为N为B′C′的中点，
所以MN∥AC′.
又MN?平面A′ACC′，
AC′?平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′.
(2)以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O－xyz，如图所示．
设AA′＝1，则AB＝BC＝λ，
于是A(0,0,0)，B(λ，0,0)，C(0，λ，0)，A′(0,0,1)，B′(λ，0,1)，C′(0，λ，1)，
所以M(，0，)，N(，，1)．
设m＝(x1，y1，z1)是平面A′MN的法向量，
由得
可取m＝(1，－1，λ)．
设n＝(x2，y2，z2)是平面MNC的法向量．
由得
可取n＝(－3，－1，λ)．
因为A′－MN－C为直二面角，所以m·n＝0.
即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝.
1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，H、F分别为AB、CC1的中点，各棱长都是4.
(1)求证CH∥平面FA1B.
(2)求证平面ABB1A1⊥平面FA1B.
(3)设E为BB1上一点，试确定E的位置，使HE⊥BC1.
[解析] 在正三棱柱中，∵H为AB中点，∴CH⊥AB，过H作HM⊥AB交A1B1于M，分别以直线AB、HC、HM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(0，2，0)，F(0,2，2)，A(－2,0,0)，A1(－2,0,4)，C1(0，2，4)．
(1)∵＝(0,2，0)，＝(－2，－2，2)，＝(－2，2，2)，∴＝(－)，
∵与不共线，∴∥平面FA1B，
∵HC?平面FA1B，∴HC∥平面FA1B.
(2)平面ABB1A1的一个法向量为n1＝＝(0,2，0)，
设平面FA1B的一个法向量n＝(x，y，z)，则
∴∴
令x＝1得n＝(1,0,1)，
∵n·n1＝0，∴n⊥n1，∴平面ABB1A1⊥平面FA1B.
(3)∵E在BB1上，∴设E(2,0，t)，(t>0)，则＝(2,0，t)，＝(－2,2，4)，∵HE⊥BC1，
∴·＝－4＋4t＝0，∴t＝1，
∴E是BB1上靠近B点的四等分点(或BE＝BB1)．
2．如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N、R分别是AB、PC、CD的中点．求证：
(1)直线AR∥平面PMC；
(2)直线MN⊥直线AB.
[解析] 证法1：(1)连接CM，∵四边形ABCD为矩形，CR＝RD，BM＝MA，∴CM∥AR，
又∵AR?平面PMC，∴AR∥平面PMC.
(2)连接MR、NR，在矩形ABCD中，AB⊥AD，PA⊥平面AC，∴PA⊥AB，AB⊥平面PAD，∵MR∥AD，NR∥PD，
∴平面PDA∥平面NRM，
∴AB⊥平面NRM，则AB⊥MN.
证法2：(1)以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB＝a，AD＝b，AP＝c，则B(a,0,0)，D(0，b,0)，P(0,0，c)，C(a，b,0)，∵M、N、P分别为AB、PC、CD的中点，∴M(，0,0)，N(，，)，R(，b,0)，∴＝(，b,0)，＝(，0，－c)，＝(，b,0)，设＝λ＋μ，，∴，∴＝，∴AR∥MC，
∵AR?平面PMC，∴AR∥平面PMC.
(2)＝(0，，)，＝(a,0,0)，
∵·＝0，∴⊥，∴MN⊥AB.
3．(2012·天津理，17)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.
(1)证明：PC⊥AD；
(2)求二面角A－PC－D的正弦值；
(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．
[分析] 因为AC⊥AD，PA⊥平面ABCD，故以A为原点建立空间直角坐标系，写出A、B、C、D、P的坐标．(1)运用·＝0证明PC⊥AD；(2)先求两平面APC与平面DPC的法向量夹角的余弦值，再用平方关系求正弦值；(3)将异面直线所成的角通过平移转化成向量与的夹角，利用向量夹角公式列等式．
[解析] 如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B(－，，0)，P(0,0,2)．
(1)证明：易得＝(0,1，－2)，＝(2,0,0)，
于是·＝0，所以PC⊥AD.
(2)＝(0,1，－2)，＝(2，－1,0)．
设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，
则即
不妨令z＝1，可得n＝(1,2,1)．
可取平面PAC的法向量m＝(1,0,0)．
于是cos〈m，n〉＝＝＝，
从而sin〈m，n〉＝.
所以二面角A－PC－D的正弦值为.
(3)设点E的坐标为(0,0，h)，其中h∈[0,2]．由此得＝(，－，h)，由于＝(2，－1,0)，故
cos〈，〉＝
＝＝，
所以，＝cos30°＝，解得h＝，
即AE＝.
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