1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为侧面CC1D1D的中心.若=z+x+y,则x+y+z的值为( )
A.1 B. C.2 D.
[答案] C
[解析] ∵=+=++.
∴x+y+z=1++=2.
2.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,能使l∥α的可能是( )
A.a=(1,0,0),n= (-2,0,0)
B.a=(1,3,5),n=(1,-2,1)
C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
D.a=(1,-1,3), n=(0,3,-1)
[答案] B
[解析] 欲使l∥α,应有n⊥a,∴n·a=0,故选B.
3.二面角α-l-β等于60°,A、B是棱l上两点,AC、BD分别在半平面α、β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长等于( )
A.a B.a
C.2a D.a
[答案] C
[解析] 如图.∵二面角α-l-β等于60°,
∴与夹角为60°.
由题设知,⊥,⊥,||=||=a,||=2a,
||2=|++|2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=4a2,∴||=2a.
4.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(4,5,x),若a、b、c三向量共面,则|c|=( )
A.5 B.6
C. D.
[答案] C
[解析] ∵a、b、c三向量共面,
∴存在实数λ、μ,使c=λa+μb,
∴(4,-5,x)=(2λ-μ,-λ+4μ,3λ-2μ),
∴∴x=5,
∴|c|==.
5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点,则·的值为( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
[答案] C
[解析] ·=(+)·
=(·+·)
=(a2cos60°+a2cos60°)=a2.
故选C.
6.将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,若点P满足=-+,则||2的值为( )
A. B.2
C. D.
[答案] D
[解析] 由题意,翻折后AC=AB=BC,
∴∠ABC=60°,∴||2=|-+|2
=||2+||2+||2-·-·+·=++2-×1×1×cos60°-1×cos45°+1××cos45°=.
7.(2012·河南六市联考)如图,在平行四边形ABCD中,·=0,2 2+ 2=4,若将其沿BD折成直二面角A-BD-C,则三棱锥A-BCD的外接球的体积为________.
[答案] π
[解析] 因为AB⊥BD,二面角A-BD-C是直二面角,所以AB⊥平面BCD,∴AB⊥BC,AD⊥DC.故△ABC,△ADC均为直角三角形.取AC的中点M,则MA=MC=MD=MB,故点M即为三棱锥A-BCD的外接球的球心.由22+2=4?2+2+2=2=4,∴AC=2,∴R=1.故所求球的体积为V=π.
8.(2011·金华模拟)已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点且=,则点C的坐标为________.
[答案] (,-1,)
[解析] ∵C为线段AB上一点,
∴存在实数λ>0,使=λ,
又= (-2,-6,-2),∴=(-2λ,-6λ,-2λ),
∵=,∴λ=,∴=(-,-2,-),
∴C(,-1,).
9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E、F分别是棱BC、DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF的和的值为________.
[答案] 1
[解析] 以D1为原点,直线D1A1、D1C1、D1D为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,1),B(1,1,1),B1(1,1,0),
设DF=t,CE=k,则D1F=1-t,∴F(0,0,1-t),E(k,1,1),要使B1E⊥平面ABF,易知AB⊥B1E,故只要B1E⊥AF即可,
∵=(-1,0,-t),=(k-1,0,1),
∴·=1-k-t=0,∴k+t=1,即CE+DF=1.
10.( 2012·天津调研)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1.
(1)求证:平面PAC⊥平面PCD;
(2)在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB?若存在,请确定E点的位置;若不存在,请说明理由.
[解析] (1)证明:∵PA⊥平面ABCD,
∴PB与平面ABCD所成的角为∠PBA=45°.
∴AB=1,由∠ABC=∠BAD=90°,
易得CD=AC=,∴AC⊥CD.
又∵PA⊥CD,PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC,又CD?平面PCD,
∴平面PAC⊥平面PCD.
(2)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
∴P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),
设E(0,y,z),则=(0,y,z-1),=(0,2,-1).
∵∥,∴y·(-1)-2(z-1)=0①
∵=(0,2,0)是平面PAB的法向量,
又=(-1,y-1,z),CE∥平面PAB.
∴⊥.
∴(-1,y-1,z)·(0,2,0)=0,∴y=1.
将y=1代入①,得z=.∴E是PD的中点,
∴存在E点使CE∥平面PAB,此时E为PD的中点.
能力拓展提升
11.二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为( )
A.150° B.45°
C.60° D.120°
[答案] C
[解析] 由条件知,·=0,·=0,
=++.
∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=62+42+82+2×6×8cos〈,〉
=116+96cos〈,〉=(2)2,
∴cos〈,〉=-,
∴〈,〉=120°,所以二面角的大小为60°.
12.在棱长为1的正方体AC1中,O1为B1D1的中点.
求证:(1)B1D⊥平面ACD1;
(2)BO1∥平面ACD1.
[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系,由于正方体的棱长为1,
则B(1,0,0),O1(,,1),D1(0,1,1),C(1,1,0),D(0,1,0),B1(1,0,1),∴=(-1,1,-1),=(0,1,1),=(1,1,0),=(-,,1).
(1)∵·=0,·=0,
∴⊥,⊥,
∵与不共线,∴⊥平面ACD1,
∴B1D⊥平面ACD1.
(2)∵·=0,∴⊥,
∴∥平面ACD1.
又BO1?平面ACD1,∴BO1∥平面ACD1.
[点评] 第(2)问还可以通过证明=(其中O为AC中点)证明.
13.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点.
(1)求证:EF⊥CD;
(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.
[解析]
(1)证明:∵PD⊥底面ABCD,四边形ABCD是正方形,
∴AD、DC、PD两两垂直,如图,以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
设AD=a,则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、E(a,,0)、P(0,0,a)、F(,,).=(-,0,),=(0,a,0).
∵·=0,∴⊥,即EF⊥CD.
(2)设G(x,0,z),则=(x-,-,z-),
若使GF⊥平面PCB,则
由·=(x-,-,z-)·(a,0,0)=a(x-)=0,得x=;
由·=(x-,-,z-)·(0,-a,a)=+a(z-)=0,得z=0.
∴G点坐标为(,0,0),即G点为AD的中点.
14.(2011·海口调研)在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是等边三角形,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,E是AD的中点,F是PC的中点.
(1)求证:BE⊥平面PAD;
(2)求证:EF∥平面PAB;
(3)求直线EF与平面PBE所成角的余弦值.
[解析] 解法一: (1)∵E是AD中点,连接PE,
∴AB=2,AE=1.
BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos∠BAD
=4+1-2×2×1×cos60°=3.
∴AE2+BE2=1+3=4=AB2,∴BE⊥AE.
又平面PAD⊥平面ABCD,交线为AD,
∴BE⊥平面PAD.
(2)取PB中点为H,连接FH,AH,
∵AE綊BC,又∵HF是△PBC的中位线,
∴HF綊BC,∴AE綊HF,
∴四边形AHFE是平行四边形,∴EF∥AH,
又EF?平面PAB,AH?平面PAB,
∴EF∥平面PAB.
(3)由(1)知,BC⊥BE,PE⊥BC,
又PE,BE是平面PBE内两相交直线,
∴BC⊥平面PBE,
又由(2)知,HF∥BC,∴HF⊥平面PBE,
∴∠FEH是直线EF与平面PBE所成的角,
易知BE=PE=,在Rt△PEB中,EH=,
∴tan∠FEH==,∴cos∠FEH=.
故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为.
解法二:容易证明EP,EA,EB两两垂直,建立空间直角坐标系E-xyz如图.
易求BE=PE=,则E(0,0,0),A(1,0,0),
B(0,,0),C(-2,,0),D(-1,0,0),P(0,0,),
因为F是PC的中点,则F(-1,,).
(1)∵·=0·1+·0=0·0=0,
∴⊥,即EB⊥EA,
∵·=0·0+·0+0·=0,
∴⊥,即EB⊥EP,
∵EA,EP是平面PAD内的两相交直线,
∴EB⊥平面PAD.
(2)取PB中点为H,连接FH,AH,则H(0,,),
∵=(-1,,),
=(0,,)-(1,0,0)=(-1,,),
∴∥,
∵又EF?平面PAB,AH?平面PAB,
∴EF∥平面PAB.
(3)∵y轴?平面PBE,z轴?平面PBE,
∴平面PBE的法向量为n=(1,0,0),
∵=(-1,,),
设直线EF与平面PBE所成角为θ,
∴sinθ==,∴cosθ=,
故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为.
15.(2012·辽宁理,18)如图,直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=λAA′,点M、N分别为A′B和B′C′的中点.
(1)证明:MN∥平面A′ACC′;
(2)若二面角A′-MN-C为直二面角,求λ的值.
[解析] (1)连结AB′,AC′,由已知∠BAC=90°,
AB=AC,三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱,
所以M为AB′中点.
又因为N为B′C′的中点,
所以MN∥AC′.
又MN?平面A′ACC′,
AC′?平面A′ACC′,
因此MN∥平面A′ACC′.
(2)以A为坐标原点,分别以直线AB、AC、AA′为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz,如图所示.
设AA′=1,则AB=BC=λ,
于是A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1),
所以M(,0,),N(,,1).
设m=(x1,y1,z1)是平面A′MN的法向量,
由得
可取m=(1,-1,λ).
设n=(x2,y2,z2)是平面MNC的法向量.
由得
可取n=(-3,-1,λ).
因为A′-MN-C为直二面角,所以m·n=0.
即-3+(-1)×(-1)+λ2=0,解得λ=.
1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,H、F分别为AB、CC1的中点,各棱长都是4.
(1)求证CH∥平面FA1B.
(2)求证平面ABB1A1⊥平面FA1B.
(3)设E为BB1上一点,试确定E的位置,使HE⊥BC1.
[解析] 在正三棱柱中,∵H为AB中点,∴CH⊥AB,过H作HM⊥AB交A1B1于M,分别以直线AB、HC、HM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),C(0,2,0),F(0,2,2),A(-2,0,0),A1(-2,0,4),C1(0,2,4).
(1)∵=(0,2,0),=(-2,-2,2),=(-2,2,2),∴=(-),
∵与不共线,∴∥平面FA1B,
∵HC?平面FA1B,∴HC∥平面FA1B.
(2)平面ABB1A1的一个法向量为n1==(0,2,0),
设平面FA1B的一个法向量n=(x,y,z),则
∴∴
令x=1得n=(1,0,1),
∵n·n1=0,∴n⊥n1,∴平面ABB1A1⊥平面FA1B.
(3)∵E在BB1上,∴设E(2,0,t),(t>0),则=(2,0,t),=(-2,2,4),∵HE⊥BC1,
∴·=-4+4t=0,∴t=1,
∴E是BB1上靠近B点的四等分点(或BE=BB1).
2.如图,已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,M、N、R分别是AB、PC、CD的中点.求证:
(1)直线AR∥平面PMC;
(2)直线MN⊥直线AB.
[解析] 证法1:(1)连接CM,∵四边形ABCD为矩形,CR=RD,BM=MA,∴CM∥AR,
又∵AR?平面PMC,∴AR∥平面PMC.
(2)连接MR、NR,在矩形ABCD中,AB⊥AD,PA⊥平面AC,∴PA⊥AB,AB⊥平面PAD,∵MR∥AD,NR∥PD,
∴平面PDA∥平面NRM,
∴AB⊥平面NRM,则AB⊥MN.
证法2:(1)以A为原点,AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AB=a,AD=b,AP=c,则B(a,0,0),D(0,b,0),P(0,0,c),C(a,b,0),∵M、N、P分别为AB、PC、CD的中点,∴M(,0,0),N(,,),R(,b,0),∴=(,b,0),=(,0,-c),=(,b,0),设=λ+μ,,∴,∴=,∴AR∥MC,
∵AR?平面PMC,∴AR∥平面PMC.
(2)=(0,,),=(a,0,0),
∵·=0,∴⊥,∴MN⊥AB.
3.(2012·天津理,17)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(1)证明:PC⊥AD;
(2)求二面角A-PC-D的正弦值;
(3)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.
[分析] 因为AC⊥AD,PA⊥平面ABCD,故以A为原点建立空间直角坐标系,写出A、B、C、D、P的坐标.(1)运用·=0证明PC⊥AD;(2)先求两平面APC与平面DPC的法向量夹角的余弦值,再用平方关系求正弦值;(3)将异面直线所成的角通过平移转化成向量与的夹角,利用向量夹角公式列等式.
[解析] 如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B(-,,0),P(0,0,2).
(1)证明:易得=(0,1,-2),=(2,0,0),
于是·=0,所以PC⊥AD.
(2)=(0,1,-2),=(2,-1,0).
设平面PCD的法向量n=(x,y,z),
则即
不妨令z=1,可得n=(1,2,1).
可取平面PAC的法向量m=(1,0,0).
于是cos〈m,n〉===,
从而sin〈m,n〉=.
所以二面角A-PC-D的正弦值为.
(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中h∈[0,2].由此得=(,-,h),由于=(2,-1,0),故
cos〈,〉=
==,
所以,=cos30°=,解得h=,
即AE=.
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