典型例题十六 例16 设
和
都是非零实数，求不等式
和
同时成立的充要条件． 分析：本题是求两个不等式同时成立的充要条件，因此，这两个不等式不能分开来讨论．如果分开讨论，则
成立的条件就是
本身；而
成立的条件则是
与
同号，且
，但这个条件只是
的一个充分条件，并且与第一个不等式
是矛盾的．所以必须研究这两个不等式同时成立的条件．显然，应该从求它们同时成立的必要条件入手． 解：先求
，
同时成立的必要条件，即当
，
同时成立时，
与
应具备什么条件． 由
，得
由
可知
，再由
知
，即
与
异号，因此
是不等式
与
同时成立的必要条件． 再求
，
同时成立的充分条件． 事实上，当
时，必有
，且
，因而
成立．从而
是不等式
，
同时成立的充分条件． 因此，两个不等式
，
同时成立的充要条件是
． 说明：本题结果表明，
与
同时成立，其充要条件是
为正数，
为负数．这与
成立的条件
，
不要混淆．解本题是从必要条件入手的，即若
，
同时成立，则要研究从不等式
和
看
与
的大小有什么关系，从中得出结论（
），再把这个结论作为一个充分条件去验证
及
能否同时成立．从而解决了本题．

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