求点的轨迹的例题
例 已知关于t的一元二次方程
（1）当方程有实根时，求点的轨迹方程．
（2）求方程的实根的取值范围．
思路分析
（1）本题方程中有三个未知数由复数相等的充要条件能得到两个等式，而结论是要求动点的轨迹方程，联想到解析几何知识，求的轨迹方程就是求关于的方程，于是上面的两个等式正是轨迹方程的参数形式，消去参数t，问题得解
（2）由上面解答过程中的②知可看作一条直线，由③知是一个圆，因此求实根t的范围可转化为直线与圆有公共点的问题．
解答
（1）设实根为t，则
即
根据复数相等的充要条件得
由（2）得代入（1）得
即……（3）
∴所求点的轨迹方程为，轨迹是以（1，－1）为圆心，为半径的圆．
（2）由（3）得圆心为（1，－1），半径，
直线与圆有公共点，则，
即 ∴，
故方程的实根的取值范围为．
思维诊断
此题涉及到复数与解析几何的知识，综合性较强，学生往往不易入手，审题不到位，且有畏惧心理，是思维受阻的主要因素，在第（2）题求实根的取值范围时还可由（1）（2）消去y建立关于实数x的二次方程，用判别式求出t的范围．同时通过本题，同学们要进一步认识，把复数问题转化为实数问题求解的必要性，这是解决有关复数与方程问题惯用的手法，要切实掌握好．
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