[命题报告·教师用书独具]
一、选择题
1．(2013年广州模拟)设复数z1＝1－3i，z2＝3－2i，则在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为＝＝＝，所以在复平面内对应的点为，在第四象限，选D.
答案：D
2．(2013年福州模拟)复数(i为虚数单位)等于( )
A.＋i B.－i
C．－－i D．－＋i
解析：＝＝＝－＋i.
答案：D
3．(2013年郑州模拟)如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于( )
A．－ B.
C. D．2
解析：注意到＝＝，依题意有2－2b＝4＋b，解得b＝－，选A.
答案：A
4．(2013年乌鲁木齐模拟)若复数z满足＝4－3i，则z＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
解析：依题意得，z＝＝＝＝－i，选D.
答案：D
5．(2013年焦作模拟)已知复数z1＝1＋i，z2＝1＋bi，i为虚数单位，若为纯虚数，则实数b的值是( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：＝＝＝＝＋i，因为为纯虚数，所以＝0，且≠0，解得b＝－1.
答案：B
二、填空题
6．(2012年高考江苏卷)设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．
解析：化为标准形式，利用复数相等，求出a，b.
∵＝＝(25＋15i)＝5＋3i，
∴a＝5，b＝3.∴a＋b＝5＋3＝8.
答案：8
7．(2013年九江模拟)复数在复平面内对应的点到原点的距离为________．
解析：＝＝－2i，故复数在复平面内对应的点为(0，－2)，所求距离为2.
答案：2
8．若复数z＝cos θ＋isin θ且z2＋2＝1，则sin2 θ＝________.
解析：z2＋2＝(cos θ＋isin θ)2＋(cos θ－isin θ)2
＝2cos 2θ＝1?sin2 θ＝.
答案：
9．设复数z满足|z|＝5且(3＋4i)z是纯虚数，则＝________.
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则有＝5.
于是(3＋4i)z＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i.
由题设得得b＝a，
代入得a2＋(a)2＝25，a＝±4，∴或
即z＝4＋3i或z＝－4－3i，
∴＝4－3i或＝－4＋3i.
答案：4－3i或－4＋3i
三、解答题
10．已知复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，根据以下要求求实数m的值或范围：
(1)z是纯虚数；
(2)z是实数；
(3)z对应的点在复平面的第二象限．
解析：(1)由
得∴m＝3.
(2)由
得m＝－1或－2.
(3)由
得
∴－1＜m＜1－或1＋＜m＜3.
11．已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.
∵＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i.
由题意得x＝4，∴z＝4－2i.
∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
由于(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，
∴解得2＜a＜6，
∴实数a的取值范围是(2,6)．
12．(能力提升)已知z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．
解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)，则
z2＝z1＋＝a＋bi＋
＝＋i.
因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1.
所以z2＝2a.
由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤.
即z1的实部的取值范围是.
[因材施教·学生备选练习]
1．(2013年皖南八校联考)设a是实数，且＋是实数，则a＝( )
A. B．1
C. D．2
解析：∵＋＝＋i，
∴2－2a＝0，a＝1，选B.
答案：B
2．定义：若z2＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则称复数z是复数a＋bi的平方根．根据定义，则复数－3＋4i的平方根是( )
A．1－2i或－1＋2i B．1＋2i或－1－2i
C．－7－24i D．7＋24i
解析：设(x＋yi)2＝－3＋4i，则
解得或
答案：B
3．(2011年高考上海卷)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2 .
解析：由(z1－2)(1＋i)＝1－i得z1＝＋2＝2－i.
已知复数z2的虚部为2，设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，∴4－a＝0，解得a＝4，∴z2＝4＋2i.
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