第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题
1．直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0(a>0)没有公共点，则a的取值范围是 ( )
A．(0，－1) B．(－1，＋1)
C．(－－1，＋1) D．(0，＋1)
2．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝ ( )
A．4 B．4
C．8 D．8
3．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为 ( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
4．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 ( )
A．5 B．10
C．15 D．20
5．直线x＋7y－5＝0截圆x2＋y2＝1所得的两段弧长之差的绝对值是 ( )
A. B.
C．π D.
6．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是 ( )
A．[1－2，1＋2] B．[1－，3]
C．[－1,1＋2] D．[1－2，3]
二、填空题
7．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________________．
8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．[来源:]
9．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为________．
三、解答题
10．已知点A(1，a)，圆x2＋y2＝4.
(1)若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；
(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2，求a的值．
[来源:]
11．已知圆C的圆心与点P(－2,1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，求圆C的方程．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B.
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在常数k，使得向量 ＋ 与 共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
详解答案
一、选择题
1．解析：由圆x2＋y2－2ay＝0(a>0)的圆心(0，a)到直线x＋y＝1的距离大于a，且a>0可得a的取值范围．
答案：A
2．解析：依题意，可设圆心坐标为(a，a)、半径为r，其中r＝a>0，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝×＝8.[来源: ]
答案：C
3．解析：因为两条直线x－y＝0与x－y－4＝0平行，故它们之间的距离即为圆的直径，所以2R＝，所以R＝.设圆心C的坐标为(a，－a)，由点C到两条切线的距离都等于半径，所以＝，＝，解得a＝1，故圆心为(1，－1)，所以圆C的方程为
(x－1)2＋(y＋1)2＝2.[来源: ]
答案：B
4．解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝2＝2(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝2，且AC⊥BD，因此四边形ABCD的面积等于|AC|×|BD|＝×2×2＝10.
答案：B
5．解析：圆心到直线的距离d＝＝.
又∵圆的半径r＝1，
∴直线x＋7y－5＝0截圆x2＋y2＝1的弦长为.
∴劣弧所对的圆心角为.
∴两段弧长之差的绝对值为π－＝π.
答案：C
6．解析：在平面直角坐标系内画出曲线y＝3－与直线y＝x，在平面直角坐标系内平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿左上方平移到过点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y＝3－都有公共点；当直线沿右下方平移到与以点C(2,3)为圆心、2为半径的圆相切的过程中的任何位置相应的直线与曲线y＝3－都有公共点．注意与y＝x平行且过点(0,3)的直线方程是y＝x＋3；当直线y＝x＋b与以点C(2,3)为圆心、2为半径的圆相切时，有＝2，b＝1±2.结合图形可知，满足题意的b的取值范围是
[1－2，3]．
答案：D
二、填空题
7．解析：因为点A、B同时在两个圆上，联立两圆方程作差并消去二次项可得直线AB的方程为x＋3y＝0.
答案：x＋3y＝0
8．解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即<1，解得－130，[来源:]
解得－
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