第六章 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
一、选择题
1．设变量x，y满足则x＋2y的最大值和最小值分别为 ( )
A．1，－1 B．2，－2
C．1，－2 D．2，－1
2．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为 ( )
A．[－2,2] B．[－2,3]
C．[－3,2] D．[－3,3][来源: ]
3．已知不等式组，所表示的平面区域的面积为4，则k的值为( )
A．1 B．－3
C．1或－3 D．0
[来源:]
4．已知O是坐标原点，点A(－1,1)．若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是 ( )
A．[－1,0] B．[0,1]
C．[0,2] D．[－1,2]
5．已知实数x，y满足，若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围为 ( )
A．a≥1 B．a≤－1
C．－1≤a≤1 D．a≥1或a≥－1
6．若变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为 ( )
A．－8 B．－6
C．0 D．12
二、填空题
7．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的外接圆的方程为________．
8．已知变量x，y满足，设z＝ax＋y(a>0)，若当z取得最大值时对应的点有无数个，则a的值为________．
9．已知实数x、y满足不等式组，则z＝的最大值为________．
三、解答题
10．已知?ABCD的三个顶点为A(－1,2)，B(3,4)，C(4，－2)，点(x，y)在?ABCD的内部，求z＝2x－5y的取值范围．
[来源:]
11．由约束条件所确定的平面区域的面积S＝f(t)，试求f(t)的表达式．
12．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，请你给投资人设计一投资方案，使得投资人获得的利润最大．
详解答案
一、选择题
1．解析：画出可行域如图，分析图可知直线u＝x＋2y经过点A、C时分别对应u的最大值和最小值．
答案：B
2．解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，所以2x＋3y＝z，不等式|x|＋|y|≤1可转化为
，由图可得其对应的可行域为边长为，以点(1,0)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)为顶点的正方形，结合图象可知当直线2x＋3y＝z过点(0，－1)时z有最小值－3，当过点(0,1)时z有最大值3.所以z的取值范围为[－3,3]．
答案：D
3．解析：由题意知不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由阴影部分的面积为×|BC|×|OC|＝4?|BC|＝4，则B(2,4)，即直线kx－y＋2＝0过点(2,4)，代入可求得k＝1.
答案：A
4．解析：平面区域如图中阴影部分所示的△BDN，N(0,2)，D(1,1)，设点M(x，y)，因点A(－1,1)，则z＝ ·＝－x＋y，由图可知；当目标函数z＝－x＋y过点D时，zmin＝－1＋1＝0；当目标函数z＝－x＋y过点N时，zmax＝0＋2＝2，故z的取值范围为[0,2]，即 · 的取值范围为[0,2]．
答案：C
5．解析：作出x，y满足的可行域，如图阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值．又kBC＝－1，kAB＝1，
∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.
答案：C
6．解析：根据得可行域如图中阴影部分所示：
根据z＝x＋2y得y＝－＋，平移直线y＝－得过M点时取得最小值．
根据得，则zmin＝4＋2×(－5)＝－6.
答案：B
二、填空题
7．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．易知△ABC为等腰直角三角形，A(2,2)，B(1,1)，C (1,2)，因此△ABC的外接圆的圆心为(，)，半径为＝.所以所求外接圆的方程为(x－)2＋(y－)2＝.
答案：(x－)2＋(y－)2＝
8．解析：因为当z取得最大值时对应的点有无数个，由可行域可知：目标函数所对应的直线与直线3x＋5y＝25平行，
即－a＝－，所以a＝.
答案：
9．解析：作出实数x、y满足的可行域，易知在点(2,3)处，z取得最大值．
∴zmax＝＝.
答案：
三、解答题
10．解：由题可知，平行四边形ABCD的点D的坐标为(0，－4)，点(x，y)在平行四边形内部，如图，所以在D(0，－4)处目标函数z＝2x－5y取得最大值为20，在点B(3,4)处目标函数z＝2x－5y取得最小值为－14，由题知点(x，y)在平行四边形内部，所以端点取不到，故z＝2x－5y的取值范围是(－14,20)．
11．解：由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP，如图所示，其面积S＝f(t)＝S△OPD－S△AOB－S△ECD，
而S△OPD＝×1×2＝1.[来源:]
S△OAB＝t2，S△ECD＝(1－t)2，
所以S＝f(t)＝1－t2－(1－t)2＝－t2＋t＋.
[来源: ]
12．解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，z代表盈利金额，则有z＝x＋0.5y，
由题意知
目标函数z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10与0.3x＋0.1y＝1.8的交点，解方程组
得x＝4，y＝6，此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．
∴当x＝4，y＝6时z取得最大值．
∴投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
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