第七章 第二节 空间几何体的表面积和体积
一、选择题
1．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于π，则该圆锥的体积为 ( )
A.π B.π
C. π D.π
2．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ( )
A．8－ B．8－
C．8－2π D.
3．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4π，则其侧棱长为 ( )
A. B.
C. D.
4．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为 ( )
A. B.
C.a3 D.a3
5．如图，某几何体的正视图，侧视图和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为 ( )
A．4 B．4
C．2 D．2
6．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是 ( )[来源: ]
A．96 B．16
C．24 D．48
二、填空题
7．三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．
8．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
9．四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图所示，则四棱锥P－ABCD的表面积为________．
[来源:]
三、解答题
10.如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，求此三棱锥的体积．
11.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm,4 cm,5 cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分形成的几何体的体积．
[来源:]
12．如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，
QA＝AB＝PD.
(1)证明：PQ⊥平面DCQ；
(2)求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值．
详解答案
一、选择题
1．解析：圆锥的侧面展开图扇形的弧长，即底面圆的周长为π·1＝π，设底面圆的半径为r，则有2πr＝π，得r＝，于是圆锥的高h＝＝，故圆锥的体积V＝π.
答案：C
2．解析：圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V＝23－×π×12×2＝8－π.
答案：A
3．解析：依题可以构造一个正方体，其体对角线就是外接球的直径．设侧棱长为a，球半径为r.∵r＝1，∴a＝2r＝2，
∴a＝.
答案：B
4．解析：设正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，沿AC折起后依题意得，当BD＝a时，BE⊥DE，所以DE⊥平面ABC，于是三棱锥D－ABC的高为DE＝a，所以三棱锥D－ABC的体积V＝·a2·a＝a3.
答案：D
5．解析：由题意知该几何体为如图所示的四棱锥，底面为菱形，且AC＝2，BD＝2，高OP＝3，其体积V＝×(×2×2)×3＝2.
答案：C
6．解析：由πR3＝π，∴R＝2.∴正三棱柱的高h＝4.设其底面边长为a，则·a＝2，∴a＝4.∴V＝(4)2·4＝48.
答案：D
二、填空题[来源: ]
7．解析：依题意有，三棱锥P－ABC的体积V＝S△ABC·PA＝××22×3＝.
答案：
8．解析：由三视图可知，此几何体的上面是正四棱柱，其长，宽，高分别是2,1,1，此几何体的下面是长方体，其长，宽，高分别是2,1,1，因此该几何体的体积V＝2×1×1＋2×1×1＝4(m3)．
答案：4
9．解析：依题意可知，在该四棱锥中，PA⊥底面ABCD，PA＝a，底面四边形ABCD是边长为a的正方形，因此有PD⊥CD，PB⊥BC，PB＝PD＝a，所以该四棱锥的表面积等于a2＋2×a2＋2××a×a＝(2＋)a2.
答案：(2＋)a2
三、解答题
10. 解：折叠起来后，B、D、C三点重合为S点，则围成的三棱锥为S－AEF，这时SA⊥SE，SA⊥SF，SE⊥SF，且SA＝2，SE＝SF＝1，所以此三棱锥的体积V＝··1·1·2＝.
11. 解：V棱柱＝3×4÷2×6＝36(cm3)．
设圆柱底面圆的半径为r，
(3－r)＋(4－r)＝5，
r＝1.
V圆柱＝πr2·h＝6π(cm3)．
[来源:]
V＝V棱柱－V圆柱＝(36－6π) cm3.
12．解：(1)证明：由条件知PDAQ为直角梯形．
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ.可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，
则PQ⊥QD.
所以PQ⊥平面DCQ.
(2)设AB＝a.由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高，所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝a3.
由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高，而PQ＝a，△DCQ的面积为a2，
所以棱锥P－DCQ的体积V2＝a3.
故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1.
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