第五章 第二节 等差数列及其前n项和
一、选择题
1．设等差数列{an}的前 n项和为Sn，若S3＝9，S5＝20，则a7＋a8＋a9＝( )
A．63 B．45
C．36 D．27
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a8＝15－a5，则S9等于( )
A．18 B．36
C．45 D．60
3．在等差数列{an}中，an＜0，a＋a＋2a3a8＝9，那么S10等于( )
A．－9 B．－11
C．－13 D．－15
4．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为( )
A．－2 B．－3
C．－4 D．－6
5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝( )
A．8 B．7
C．6 D．5
6．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝( )
A．0 B．3
C．8 D．11
二、填空题
7．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.[来源: ]
8．等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.
9．在等差数列{an}中，a1＝2，a2＋a5＝13，则a5＋a6＋a7＝________.[来源:
三、解答题
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2＋a4＝14，S7＝70.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，则数列{bn}的最小项是第几项？并求出该项的值．
[来源:]
11．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.
(1)若S5＝5，求S6及a1；
(2)求d的取值范围．
12．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn满足关系式2Sn＝Sn－1－()n－1＋2(n≥2，n为正整数)，a1＝.
(1)令bn＝2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)在(1)的条件下，求Sn的取值范围．
详解答案
一、选择题
1．解析：由S3＝9，S5＝20，得d＝1，a1＝2，∴a7＋a8＋a9＝3a8＝3(a1＋7d)＝3×9＝27.
答案：D
2．解析：∵{an}为等差数列，a2＋a8＝15－a5
∴3a5＝15，即a5＝5.
∴S9＝＝9a5＝45.
答案：C
3．解析：由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，∵an＜0，
∴a3＋a8＝－3，∴S10＝＝5(a3＋a8)＝5×(－3)＝－15.
答案：D[来源:]
4．解析：an＝23＋(n－1)d，由题意知，，
即，解得－＜d＜－，
又d为整数，所以d＝－4.
答案：C
5．解析：依题意得Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝2a1＋(2k＋1)d＝2(2k＋1)＋2＝24，解得k＝5.
答案：D
6．解析：因为{bn}是等差数列，且b3＝－2，b10＝12，
故公差d＝＝2.于是b1＝－6，
且bn＝2n－8(n∈N*)，即an＋1－an＝2n－8，
所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝…＝a1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.
答案：B
二、填空题
7．解析：依题意得a2＋a4＋a6＋a8＝(a2＋a8)＋(a4＋a6)＝2(a3＋a7)＝74.
答案：74
8．解析：设{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1，
得9×1＋d＝4×1＋d，
所以d＝－.又ak＋a4＝0，
所以[1＋(k－1)×(－)]＋[1＋(4－1)×(－)]＝0.
即k＝10.
答案：10
9．解析：由a1＋a6＝a2＋a5得a6＝11.
则a5＋a6＋a7＝3a6＝33.
答案：33
三、解答题
10．解：(1)设公差为d，则有，
即解得.
所以an＝3n－2.
(2)Sn＝[1＋(3n－2)]＝
所以bn＝＝3n＋－1≥2 －1＝23.
当且仅当3n＝，即n＝4时取等号，
故数列{bn}的最小项是第4项，该项的值为23.
11．解：(1)由题意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5.
所以a6＝－3－5＝－8，
所以，
解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.
(2)因为S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9a1d＋10d2＋1＝0.
两边同乘以8，得16a＋72a1d＋80d2＋8＝0，
化简得(4a1＋9d)2＝d2－8.
所以d2≥8.
故d的取值范围为d≤－2或d≥2.
12．解：(1)由2Sn＝Sn－1－()n－1＋2，得2Sn＋1＝Sn－()n＋2，两式相减得2an＋1＝an＋()n，
上式两边同乘以2n得2n＋1an＋1＝2nan＋1，即bn＋1＝bn＋1，所以bn＋1－bn＝1，故数列{bn}是等差数列，
且公差为1，又因为b1＝2a1＝1，所以bn＝1＋(n－1)×1＝n，因此2nan＝n，从而an＝n·()n.
(2)由于2Sn＝Sn－1－ ()n－1＋2，所以2Sn－Sn－1＝2－()n－1，即Sn＋an＝2－()n－1，Sn＝2－()n－1－an，而an＝n·()n，所以Sn＝2－()n－1－n·()n＝2－(n＋2)·()n.
所以Sn＋1＝2－(n＋3)·()n＋1，且Sn＋1－Sn＝＞0，所以Sn≥S1＝，又因为在Sn＝2－(n＋2)·()n中，(n＋2)·()n＞0，故Sn＜2，
即Sn的取值范围是[，2)．
[来源:]
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