第五章 第一节 数列的概念及简单表示法
一、选择题
1．数列1，，，，，…的一个通项公式an是( )
A. B.
C. D.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2等于( )
A．4 B．2
C．1 D．－2
3．数列{an}的a1＝1，a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，则a100等于( )
A．－100 B．100
C. D．－
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝kn2，若对所有的n∈N*，都有an＋1＞an，则实数k的取值范围是( )
A．k＞0 B．k＜1
C．k＞1 D．k＜0
5．已知数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为
( )
A．5 B.
C. D.
6．若数列{an}满足a1＝5，an＋1＝＋(n∈N*)，则其前10项和为( )
A．50 B．100
C．150 D．200
二、填空题
7．数列{an}对任意n∈N*满足an＋1＝an＋a2，且a3＝6，则a10等于________．
8．根据下图5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n个图中有________个点．
9．若数列{an}满足，
an＋1＝且a1＝，则a2008＝________.
三、解答题
10．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*都有a1·a2·a3…·an＝n2，求a3＋a5的值．
[来源:Z_xx_k.Com]
11．已知数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；
(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.
12．设函数f(x)＝log2x－logx2(0＜x＜1)，数列{an}满足f(2an)＝2n(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}的单调性．
详解答案
一、选择题
1．解析：由已知得，数列可写成，，，…，故通项为.
答案：B
2．解析：在Sn＝2(an－1)中，令n＝1，得a1＝2；令n＝2，得a1＋a2＝2a2－2，所以a2＝4.[来源:学科网ZXXK]
答案：A
3．解析：a·b＝0，则nan＋1＋(n＋1)an＝0，＝－，
··…·＝－×××…×＝－100，
∴a100＝－100.
答案：A
4．解析：本题考查数列中an与Sn的关系以及数列的单调性．
由Sn＝kn2得an＝k(2n－1)，因为an＋1＞an，所以数列{an}是递增的，因此k＞0.
答案：A
5．解析：∵an＋an＋1＝，a2＝2，∴a1＝－，
∴S21＝a1＋a2＋…a20＋a21＝a1＋10×＝－＋5＝.
答案：B
6．解析：由an＋1＝＋得a－2anan＋1＋a＝0，
∴an＋1＝an，即{an}为常数列，S10＝10a1＝50.
答案：A
二、填空题
7．解析：由已知，n＝1时，a2＝a1＋a2，∴a1＝0；
n＝2时，a3＝a2＋a2＝6，∴a2＝3；n＝3时，a4＝a3＋a2＝9；[来源:学_科_网Z_X_X_K][来源:Zxxk.Com]
n＝4时，a5＝a4＋a2＝12；n＝5时，a6＝a5＋a2＝15；…
n＝10时，a10＝a9＋a2＝27.
答案：27
8．解析：观察图中5个图形点的个数分别为1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1，故第n个图中点的个数为
(n－1)×n＋1＝n2－n＋1.
答案：n2－n＋1
9．解析：a2＝2a1＝，a3＝a2－1＝，a4＝2a3＝，a5＝a4－1＝，
a6＝2a5＝，a7＝2a6＝，∴此数列周期为5，
∴a2008＝a3＝.
答案：
三、解答题
10．解：由a1·a2·a3·…·an＝n2，[来源:学.科.网Z.X.X.K]
∴a1a2＝4，a1a2a3＝9，∴a3＝，
同理a5＝.∴a3＋a5＝.
11．解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2.
当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)．
由于a1也适合于此式，
所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．
(2)当n＝1时，a＝S＝6；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2.
由于a1不适合此式，
所以an＝
12．解：(1)由已知得log22an－log2an2＝2n，
∴an－＝2n，即a－2nan－1＝0.
解得an＝n±.
∵0＜x＜1，即0＜2an＜1＝20，
∴an＜0，故an＝n－(n∈N*)．
(2)∵＝
＝＜1，
而an＜0，
∴an＋1＞an，
即数列{an}是关于n的递增数列．
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