2013高考试题解析分类汇编（理数）3：三角函数
一、选择题
．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知,则
A. B. C. D.
C
因为，又sin2α+cos2α=1，
联立解得，或
故tanα==，或tanα=3，
代入可得tan2α===﹣，
或tan2α=== 故选C
．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定
B
【KS5U解析】因为，所以
又。联立两式得。
所以。选B
．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC中, 则 =
(A) (B) (C) (D)
C
．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为
(A) (B) (C)0 (D)
B
将函数y=sin（2x +）的图像沿x轴向左平移 个单位，得到函数，因为此时函数为偶函数，所以，即，所以选B.
．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））在,内角所对的边长分别为且,则
A. B. C. D.
A
根据正弦定理得，,即，所以，即，因为，所以。选A.
．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知函数,下列结论中错误的是
(A)的图像关于中心对称 (B)的图像关于直线对称
(C)的最大值为 (D)既奇函数,又是周期函数
C
对于A选项，因为f（2π﹣x）+f（x）=cos（2π﹣x）sin2（2π﹣x）+cosxsin2x=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，故y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，A正确；
对于B选项，因为f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin2（π﹣x）=cosxsin2x=f（x），故y=f（x）的图象关于x=不对称，故B正确；
对于C选项，f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1﹣sin2x）=2sinx﹣2sin3x，令t=sinx∈[﹣1，1]，则y=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，则y′=2﹣6t2，令y′＞0解得，故y=2t﹣2t3，在[]上增，在[]与[]上减，又y（﹣1）=0，y（）=，故函数的最大值为，故C错误；
对于D选项，因为f（﹣x）+f（x）=+cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函数，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函数的周期，所以函数即是奇函数，又是周期函数，故D正确。
综上知，错误的结论只有C，故选C
．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数的图象大致为
?D
函数y=xcosx + sinx为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B，C.当时，,排除A,选D.
．（2013年高考四川卷（理））函数的部分图象如图所示,则的值分别是( )
(A) (B) (C) (D)
A
因为在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，
所以函数的周期T满足=﹣=，
由此可得T==π，解得ω=2，
得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）
又因为当x=时取得最大值2，
所以2sin（2?+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）
因为，所以取k=0，得φ=﹣。选：A
．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）） ( )
A. B. C. D.
C
【命题立意】本题考查两角和差的正弦公式以及倍角公式。
，选C.
．（2013年高考湖南卷（理））在锐角中,角所对的边长分别为.若
A. B. C. D.
D
本题考查正弦定理的应用。由正弦定理得得,即，以为三角形为锐角，所以,选D.
．（2013年高考湖北卷（理））将函数的图像向左平移个长度单位后,所得到的图像关于轴对称,则的最小值是( )
A. B. C. D.
B
本题考查三角函数的图象与平移以及三角函数的图象与性质。y=cosx+sinx,将函数的图像向左平移m（m＞0）个单位长度后，得到，此时关于y轴对称，则，所以，所以当时，m的最小值是，选B.
二、填空题
．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））中,,是的中点,若,则________.
设BC=2a，AC=b，则AM=，AB=，sin(ABM= sin(ABC==，在△ABM中，由正弦定理=，即=，解得2a2=b2，于是sin(BAC===．
．（2013年高考新课标1（理））设当时,函数取得最大值,则______
.
f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），
因为x=θ时，函数f（x）取得最大值，
所以sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，
又sin2θ+cos2θ=1，联立解得cosθ=﹣．
．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））如图中,已知点D在BC边上,ADAC,则的长为_______________
根据余弦定理可得
．（2013年高考四川卷（理））设,,则的值是_________.
因为sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），
所以cosα=﹣，sinα==，
所以tanα=﹣，
则tan2α===．
．（2013年高考上海卷（理））若,则
.
【解答】，，故．
．（2013年高考上海卷（理））已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c,若,则角C的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)
．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知是第三象限角,,则____________.
由α是第三象限的角，得到cosα＜0，
又sinα=﹣，所以cosα=﹣=﹣
则cotα==2
．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））函数的最小正周期为___________.
．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设的内角所对边的长分别为.若,则则角_____.
所以
．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））设为第二象限角,若,则________.
因为tan（θ+）==，所以tanθ=﹣，
因为θ为第二象限角，所以cosθ=﹣=﹣，sinθ==，
则sinθ+cosθ=﹣=﹣．
．（2013年高考江西卷（理））函数的最小正周期为为_________.
本题考查三角函数的化简，以及三角函数的图象和性质。
，所以周期.
三、解答题
．（2013年高考北京卷（理））在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.
(I)求cosA的值; (II)求c的值.
解:(I)因为a=3,b=2,∠B=2∠A. 所以在△ABC中,由正弦定理得.所以.故.
(II)由(I)知,所以.又因为∠B=2∠A,所以.所以.
在△ABC中,.
所以.
．（2013年高考陕西卷（理））已知向量, 设函数.
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值.
解:(Ⅰ) =.
最小正周期.
所以最小正周期为.
(Ⅱ) .
.
所以,f (x) 在上的最大值和最小值分别为.
．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在中,内角的对边分别是,且.
(1)求; (2)设,求的值.
由题意得
．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数.
(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ) 求f(x)在区间上的最大值和最小值.
．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））设向量
(I)若 (II)设函数
．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)已知函数,其中常数;
(1)若在上单调递增,求的取值范围;
(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像,区间(且)满足:在上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中,求的最小值.
(1)因为,根据题意有
(2) ,
或,
即的零点相离间隔依次为和,
故若在上至少含有30个零点,则的最小值为.
．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））设的内角的对边分别为,.
(I)求
(II)若,求.
．（2013年高考四川卷（理））在中,角的对边分别为,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.
解:由,得
,
即,
则,即
由,得,
由正弦定理,有,所以,.
由题知,则,故.
根据余弦定理,有,
解得或(舍去).
故向量在方向上的投影为
．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设△的内角所对的边分别为,且,,.
(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值.
解:(Ⅰ)由余弦定理,得,
又,,,所以,解得,.
(Ⅱ)在△中,,
由正弦定理得 ,
因为,所以为锐角,所以
因此 .
．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））已知函数的最小正周期为.
(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)讨论在区间上的单调性.
解: (Ⅰ)
.所以
(Ⅱ)
所以
．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.
(1)求函数与的解析式;
(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由.
(3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点.
解:(Ⅰ)由函数的周期为,,得
又曲线的一个对称中心为,
故,得,所以
将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数
(Ⅱ)当时,,
所以
问题转化为方程在内是否有解
设,
则
因为,所以,在内单调递增
又,
且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点,
即存在唯一的满足题意
(Ⅲ)依题意,,令
当,即时,,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程,
现研究时方程解的情况
令,
则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况
,令,得或
当变化时,和变化情况如下表
当且趋近于时,趋向于
当且趋近于时,趋向于
当且趋近于时,趋向于
当且趋近于时,趋向于
故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点;
当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点;
当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点
由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,,所以
综上,当,时,函数在内恰有个零点
．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分14分.已知,.
(1)若,求证:;(2)设,若,求的值.
解:(1)∵ ∴ 即,
又∵,∴∴∴
(2)∵ ∴即
两边分别平方再相加得: ∴ ∴ ∵ ∴
．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））已知函数,.
(Ⅰ) 求的值; (Ⅱ) 若,,求.
(Ⅰ);
(Ⅱ)
因为,,所以,
所以,
所以.
．（2013年高考湖南卷（理））已知函数.
(I)若是第一象限角,且.求的值;
(II)求使成立的x的取值集合.
解: (I).
(II)
．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,,.
(1)求索道的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
解:(1)∵,
∴∴,
∴
根据得
(2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则
∴
∵即
∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.
(3)由正弦定理得(m)
乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C
设乙的步行速度为V ,则
∴∴
∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内
法二:解:(1)如图作BD⊥CA于点D,
设BD=20k,则DC=25k,AD=48k,
AB=52k,由AC=63k=1260m,
知:AB=52k=1040m.
(2)设乙出发x分钟后到达点M,
此时甲到达N点,如图所示.
则:AM=130x,AN=50(x+2),
由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400 x2-14000 x+10000,
其中0≤x≤8,当x=(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.
(3)由(1)知:BC=500m,甲到C用时:=(min).
若甲等乙3分钟,则乙到C用时:+3= (min),在BC上用时: (min) .
此时乙的速度最小,且为:500÷=m/min.
若乙等甲3分钟,则乙到C用时:-3= (min),在BC上用时: (min) .
此时乙的速度最大,且为:500÷=m/min.
故乙步行的速度应控制在[,]范围内.
．（2013年高考湖北卷（理））在中,角,,对应的边分别是,,.已知.
(I)求角的大小;
(II)若的面积,,求的值.
解:(I)由已知条件得:
,解得,角
(II),由余弦定理得:,
．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））△在内角的对边分别为,已知.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,求△面积的最大值.
．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°
(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA
(Ⅰ)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得==,∴PA=;
(Ⅱ)设∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA中,由正弦定理得,,化简得,,
∴=,∴=.
．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.
在平面直角坐标系中,点在轴正半轴上,点在轴上,其横坐标为,且 是首项为1、公比为2的等比数列,记,.
(1)若,求点的坐标;
(2)若点的坐标为,求的最大值及相应的值.
[解](1)
(2)
[解](1)设,根据题意,.由,知,
而,
所以,解得或.
故点的坐标为或.
(2)由题意,点的坐标为,.
.
因为,所以,
当且仅当,即时等号成立.
易知在上为增函数,
因此,当时,最大,其最大值为.
．（2013年高考江西卷（理））在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.
(1) 求角B的大小;若a+c=1,求b的取值范围
解:(1)由已知得
即有
因为,所以,又,所以,
又,所以.
(2)由余弦定理,有.
因为,有.
又,于是有,即有.
【点此下载】