2013高考试题解析分类汇编（理数）6：不等式
一、选择题
．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为 （ ）
A．0 B．1 C． D．3
B
由，得。所以，当且仅当，即时取等号此时，.
，故选B.
．（2013年高考湖南卷（理））若变量满足约束条件, （ ）
A． B． C． D．
C
本题考查线性规划的应用。设，则。作出可行域如图。平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时z最大。由，得，即，代入得,选C.
．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数. 设关于x的不等式 的解集为A, 若, 则实数a的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
A
．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知,满足约束条件,若的最小值为,则 （ ）
A． B． C． D．
B
先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，
当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由 得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=。故选B．
．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y-2x的最小值为 （ ）
A．-7 B．-4
C．1 D．2
A
由得。作出可行域如图，平移直线，由图象可知当直线经过点D时，直线的截距最小，此时最小，由，得，即代入得，选A.
．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））已知一元二次不等式的解集为,则的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
D
由题知，一元二次不等式
所以选D。
．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））在平面直角坐标系xoy中,为不等式组所表示的区域上一动点,则直线斜率的最小值为 （ ）
A．2 B．1 C． D．
C
作出可行域如图，由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小。由得，即,此时OM的斜率为，选C.
．（2013年高考北京卷（理））设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,求得m的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
C
先根据约束条件画出可行域，
要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）
在直线y=x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y=x﹣1的下方，
故得不等式组，
解之得：m＜﹣．
故选C．
．（ 2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部与边界).若点是区域内的任意一点,则的取值范围是__________.
易知切线方程为：
所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为
易知过C点时有最小值，过B点时有最大值0.5
二、填空题
．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））记不等式组所表示的平面区域为,若直线与公共点,则的取值范围是______.
满足约束条件 的平面区域如图示：
因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．
所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，
当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．
又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．
所以≤a≤4．
故答案为：[，4]
．（2013年高考陕西卷（理））若点(x, y)位于曲线与y=2所围成的封闭区域, 则2x-y的最小值为___-4_____.
- 4
【KS5U解析】封闭区域为三角形。令| x – 1 | = 2 , 解得 ，所以三角形三个顶点坐标分别为（1,0,），（-1,2），（3,2），故2x－y 在点（-1,2）取最小值 - 4
．（2013年高考四川卷（理））已知是定义域为的偶函数,当≥时,,那么,不等式的解集是____________.
因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），
则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，
所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x＜3，
所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．
．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））给定区域:,令点集,是在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定______条不同的直线.
画出可行域如图所示,其中取得最小值时的整点为,取得最大值时的整点为,,,及共个整点.故可确定条不同的直线.
．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设,其中实数满足,若的最大值为12,则实数________.
2
可行域如图：
由得：A（4，4），
同样地，得B（0，2），
①当k＞﹣时，目标函数z=kx+y在x=4，y=4时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，
此时，12=4k+4，
故k=2．
②当k时，目标函数z=kx+y在x=0，y=2时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，
此时，12=0×k+2，
故k不存在．
综上，k=2．
故答案为：2．
．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设a + b = 2, b>0, 则当a = ______时, 取得最小值.
因为，所以。显然当时，且时，上式取等号，此时，联立，解得，此时。所以当时，的最小值为。
．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））不等式的解集为___________.
；易得不等式的解集为.
．（2013年高考湖南卷（理））已知则的最小值______.
12
本题考查柯西不等式的应用。由柯西不等式可知，，即，所以，即的最小值为12.
三、解答题
．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,某校有一块形如直角三角形的空地,其中为直角,长米, 长米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.
[解]如图,设矩形为, 长为米,其中,
健身房占地面积为平方米.因为∽,
以,,求得,
从而,
当且仅当时,等号成立.
答:该健身房的最大占地面积为500平方米.
．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求),每小时可获得利润是元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.
(1)根据题意,
又,可解得
(2)设利润为元,则
故时,元.
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