2013高考试题解析分类汇编（理数）9：圆锥曲线
一、选择题
．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））双曲线的顶点到其渐近线的距离等于 （ ）
A． B． C． D．
C
的顶点坐标为，渐近线为，即．带入点到直线距离公式=．
．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
B
B；依题意,,所以,从而,,故选B．
．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为 （ ）
A． B． C． D．
C
已知双曲线C：的离心率为，故有=，
所以=，解得 =．故C的渐近线方程为 ，故选C．
．（2013年高考湖北卷（理））已知,则双曲线与的 （ ）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等
D
本题考查双曲线的方程以及的计算。双曲线中，，所以，离心率为。中，，所以。离心率为，所以两个双曲线有相同的离心率，选D.
．（2013年高考四川卷（理））抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是 （ ）
A． B． C． D．
B
因为抛物线方程为y2=4x。所以2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）
又因为双曲线的方程为所以a2=1且b2=3，可得a=1且b=，
双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，化成一般式得：．
因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==。
故选：B
．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是,在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形,则的离心率是
（ ）
A． B． C． D．
D
设|AF1|=x，|AF2|=y，因为点A为椭圆C1：+y2=1上的点，
所以2a=4，b=1，c=；
所以|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AF1BF2为矩形，
所以+=，即x2+y2=（2c）2==12，②
由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c，则2a=，|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c=2=2，
所以双曲线C2的离心率e===．故选D．
．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p = （ ）
A．1 B． C．2 D．3
C
双曲线的渐近线为，抛物线的准线方程为。当时，，所以三角形△AOB的面积为，即，又双曲线的离心率为2，所以，即，即，所以，即，所以，选C.
．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
B
由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．
设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．
因为=，=，
所以==，
因为，
所以，解得．
故选B．
．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知抛物线与点,过的焦点且斜率为的直线与交于两点,若,则 （ ）
A． B． C． D．
D
由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k≠0，设直线AB为my=x﹣2，其中．
联立，得到y2﹣8my﹣16=0，△＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以y1+y2=8m，y1y2=﹣16．
又，，
所以=（x1+2）（x2+2）+（y1﹣2）（y2﹣2）=（my1+4）（my2+4）+（y1﹣2）（y2﹣2）
=（m2+1）y1y2+（4m﹣2）（y1+y2）+20=﹣16（m2+1）+（4m﹣2）×8m+20=4（2m﹣1）2
由4（2m﹣1）2=0，解得．所以．故选D
．（2013年高考北京卷（理））若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为 （ ）
A．y=±2x B．y= C． D．
B
由双曲线的离心率，可知c=a，又a2+b2=c2，所以b=a，
所以双曲线的渐近线方程为：y==±x．选B．
．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知抛物线:的焦点与双曲线:的右焦点的连线交于第一象限的点.若在点处的切线平行于的一条渐近线,则 （ ）
A． B． C． D．
D
经过第一象限的双曲线的渐近线为。抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为.，所以在处的切线斜率为，即，所以，即三点，，共线，所以，即，选D.
．（2013年高考新课标1（理））已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为 （ ）
A． B． C． D．
D
设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，
相减得，所以．
因为x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．
所以，
化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．
所以椭圆E的方程为．故选D．
．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为 （ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
C （本题网上公布试题和答案有问题）
因为抛物线C方程为y2=3px（p＞0）
所以焦点F坐标为（，0），可得|OF|=
因为以MF为直径的圆过点（0，2），
所以设A（0，2），可得AF⊥AM
Rt△AOF中，|AF|==
所以sin∠OAF==
因为根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
所以∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，
因为|MF|=5，|AF|=
所以=，整理得4+=，解之可得p=或p=
因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x
故选：C
二、填空题
．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））双曲线的两条渐近线的方程为_____________.
．（2013年高考江西卷（理））抛物线的焦点为F,其准线与双曲线相交于两点,若为等边三角形,则_____________
6
本题考查抛物线与双曲线的方程和性质。抛物线的焦点坐标，准线方程为。代入得。要使若为等边三角形，则，解得。
．（2013年高考湖南卷（理））设是双曲线的两个焦点,P是C上一点,若且的最小内角为,则C的离心率为___.
本题考查双曲线的性质以及余弦定理的应用。不妨设点P位于双曲线的右支上。由双曲线的定义可知，，又，所以解得。因为，所以最小，即.所以由余弦定理得,即，即，即，解得。
．（2013年高考上海卷（理））设AB是椭圆的长轴,点C在上,且,若AB=4,,则的两个焦点之间的距离为________
.
【解答】不妨设椭圆的标准方程为，于是可算得，得．
．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））已知直线交抛物线于两点.若该抛物线上存在点,使得为直角,则的取值范围为___ _____.
.所以
．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,到的距离为,若,则椭圆的离心率为_______.
由题意知
所以有 两边平方得到，即
两边同除以得到，解得，即
．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））椭圆的左.右焦点分别为,焦距为2c,若直线与椭圆的一个交点M满足,则该椭圆的离心率等于__________
由直线方程直线与x轴的夹角，且过点即由椭圆的第一定义可得
．（2013年高考陕西卷（理））双曲线的离心率为, 则m等于___9_____.
9
【KS5U解析】
．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点,连接,若,则的离心率______.
由余弦定理，,即，整理得，解得.又三角形为直角三角形，所以.设右焦点为,连结.根据对称性可知四边形为矩形，所以，又椭圆的定义可知，所以，所以离心率。
．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））在平面直角坐标系中,设定点,是函数()图象上一动点,若点之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为_______.
或
由题意设 则有
令
则
对称轴
1.时，
， （舍去）
2.时，
， （舍去）
综上或
．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设为抛物线的焦点,过点的直线交抛物线于两点,点为线段的中点,若,则直线的斜率等于________.
设直线l的方程为y=k(x+1)，联立消去y得k2x2+(2k2?4)x+k2=0，由韦达定理，xA+ xB =?，于是xQ==，把xQ带入y=k(x+1)，得到yQ=，根据|FQ|=，解出k=±1．
三、解答题
．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.
已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为
(1)若为等边三角形,求椭圆的方程;
(2)若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程.
[解](1)
(2)
[解](1)设椭圆的方程为.
根据题意知, 解得,
故椭圆的方程为.
(2)容易求得椭圆的方程为.
当直线的斜率不存在时,其方程为,不符合题意;
当直线的斜率存在时,设直线的方程为.
由 得.
设,则
因为,所以,即
,
解得,即.
故直线的方程为或.
．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆:的两个焦点分别为,且椭圆经过点.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于、两点,点是线段上的点,且,求点的轨迹方程.
解:
所以,.
又由已知,,
所以椭圆C的离心率
由知椭圆C的方程为.
设点Q的坐标为(x,y).
(1)当直线与轴垂直时,直线与椭圆交于两点,此时点坐标为
(2) 当直线与轴不垂直时,设直线的方程为.
因为在直线上,可设点的坐标分别为,则
. 又
由,得
,即
①
将代入中,得
②
由得.
由②可知
代入①中并化简,得 ③
因为点在直线上,所以,代入③中并化简,得.
由③及,可知,即.
又满足,故.
由题意,在椭圆内部,所以,
又由有
且,则.
所以点的轨迹方程是,其中,,
．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线交 的长轴于点,求的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,若,试证明为定值,并求出这个定值.
解:(Ⅰ)由于,将代入椭圆方程得
由题意知,即 又
所以, 所以椭圆方程为
(Ⅱ)由题意可知:=,=,设其中,将向量坐标代入并化简得:m(,因为,
所以,而,所以
(3)由题意可知,l为椭圆的在p点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:
,所以,而,代入中得
为定值.
．（2013年高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如图,已知曲线,曲线,P是平面上一点,若存在过点P的直线与都有公共点,则称P为“C1—C2型点”.
(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“C1—C2型点”;
(3)求证:圆内的点都不是“C1—C2型点”.
:(1)C1的左焦点为,过F的直线与C1交于,与C2交于,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为;
(2)直线与C2有交点,则
,若方程组有解,则必须;
直线与C2有交点,则
,若方程组有解,则必须
故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”.
(3)显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点,则斜率必存在;
根据对称性,不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点,则
直线与圆内部有交点,故
化简得,............①
若直线与曲线C1有交点,则
化简得,.....②
由①②得,
但此时,因为,即①式不成立;
当时,①式也不成立
综上,直线若与圆内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点,
即圆内的点都不是“C1-C2型点” .
．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））如图,在正方形中,为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为.分别将线段和十等分,分点分别记为和,连结,过做轴的垂线与交于点.
(1)求证:点都在同一条抛物线上,并求该抛物线的方程;
(2)过点做直线与抛物线交于不同的两点,若与的面积比为,求直线的方程.
解:(Ⅰ)依题意,过且与x轴垂直的直线方程为
,直线的方程为
设坐标为,由得:,即,
都在同一条抛物线上,且抛物线方程为
(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为
由得
此时,直线与抛物线恒有两个不同的交点
设:,则
又,
分别带入,解得
直线的方程为,即或
．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线,且,相交于点A,B,相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为.
(I)若,证明;;
(II)若点M到直线的距离的最小值为,求抛物线E的方程.
解: (Ⅰ)
.
所以,成立. (证毕)
(Ⅱ)
则,
.
.
．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于两点,交椭圆于另一点
(1)求椭圆的方程; (2)求面积取最大值时直线的方程.
解:(Ⅰ)由已知得到,且,所以椭圆的方程是;
(Ⅱ)因为直线,且都过点,所以设直线,直线,所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截的弦;
由,所以
,所以
,
当时等号成立,此时直线
．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如题(21)图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点,.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点,过作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.若,求圆的标准方程.
．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设椭圆的焦点在轴上
(Ⅰ)若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:当变化时,点在某定直线上.
解: (Ⅰ).
(Ⅱ) .
由.
所以动点P过定直线.
．（2013年高考新课标1（理））已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线 C.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
由已知得圆的圆心为(-1,0),半径=1,圆的圆心为(1,0),半径=3.
设动圆的圆心为(,),半径为R.
(Ⅰ)∵圆与圆外切且与圆内切,∴|PM|+|PN|===4,
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为.
(Ⅱ)对于曲线C上任意一点(,),由于|PM|-|PN|=≤2,∴R≤2,
当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.
∴当圆P的半径最长时,其方程为,
当的倾斜角为时,则与轴重合,可得|AB|=.
当的倾斜角不为时,由≠R知不平行轴,设与轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),∴设:,由于圆M相切得,解得.
当=时,将代入并整理得,解得=,∴|AB|==.
当=-时,由图形的对称性可知|AB|=,
综上,|AB|=或|AB|=.
．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值.
．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在求的值;若不存在,说明理由.
解:(1)由在椭圆上得, ①
依题设知,则 ②
②代入①解得.
故椭圆的方程为.
(2)方法一:由题意可设的斜率为,
则直线的方程为 ③
代入椭圆方程并整理,得,
设,则有
④
在方程③中令得,的坐标为.
从而.
注意到共线,则有,即有.
所以
⑤
④代入⑤得,
又,所以.故存在常数符合题意.
方法二:设,则直线的方程为:,
令,求得,
从而直线的斜率为,
联立 ,得,
则直线的斜率为:,直线的斜率为:,
所以,
故存在常数符合题意.
．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
(Ⅰ) 求抛物线的方程;
(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程;
(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.
(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得.
所以抛物线的方程为.
(Ⅱ) 抛物线的方程为,即,求导得
设,(其中),则切线的斜率分别为,,
所以切线的方程为,即,即
同理可得切线的方程为
因为切线均过点,所以,
所以为方程的两组解.
所以直线的方程为.
(Ⅲ) 由抛物线定义可知,,
所以
联立方程,消去整理得
由一元二次方程根与系数的关系可得,
所以
又点在直线上,所以,
所以
所以当时, 取得最小值,且最小值为.
．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））平面直角坐标系中,过椭圆的右焦点作直交于两点,为的中点,且的斜率为.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值.
．（2013年高考湖北卷（理））如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为,,,.记,和的面积分别为和.
(I)当直线与轴重合时,若,求的值;
(II)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线,使得?并说明理由.
解:(I),
解得:(舍去小于1的根)
(II)设椭圆,,直线:
同理可得,
又和的的高相等
如果存在非零实数使得,则有,
即:,解得
当时,,存在这样的直线;当时,,不存在这样的直线.
．（2013年高考北京卷（理））已知A、B、C是椭圆W:上的三个点,O是坐标原点.
(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;
(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
解:(I)椭圆W:的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A(1,),代入椭圆方程得,即. 所以菱形OABC的面积是.
(II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为.
由消去并整理得.
设A,C,则,.
所以AC的中点为M(,).
因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为.
因为,所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形,与假设矛盾.
所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.
．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点.
解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心C
(Ⅱ) 点B(-1,0), .
直线PQ方程为:
所以,直线PQ过定点(1,0)
．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））如图,抛物线,点在抛物线上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于),切线的斜率为.
(I)求的值;
(II)当在上运动时,求线段中点的轨迹方程.
．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知双曲线的左、右焦点分别为,离心率为直线与的两个交点间的距离为.
(I)求;
(II)设过的直线与的左、右两支分别相交于两点,且,证明:成等比数列.
．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.
已知抛物线 的焦点为.
(1)点满足.当点在抛物线上运动时,求动点的轨迹方程;
(2)在轴上是否存在点,使得点关于直线的对称点在抛物线上?如果存在,求所有满足条件的点的坐标;如果不存在,请说明理由.
(1)设动点的坐标为,点的坐标为,则,
因为的坐标为,所以,
由得.
即 解得
代入,得到动点的轨迹方程为.
(2)设点的坐标为.点关于直线的对称点为,
则 解得
若在上,将的坐标代入,得,即或.
所以存在满足题意的点,其坐标为和.
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