课时提能演练(七十三)
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3时的三种正态曲线N（0，σ2）的图象，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是( )
（A）σ1＞1＞σ2＞σ3＞0
（B）0＜σ1＜σ2＜1＜σ3
（C）σ1＞σ2＞1＞σ3＞0
（D）0＜σ1＜σ2=1＜σ3
2.(2012·岳阳模拟)正态总体N(0，)中，数值落在(-∞,-2)∪(2,+∞)内的概率是( )
(A)0.46 (B)0.997 (C)0.03 (D)0.002 6
3.设随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，且二次方程x2+4x+ξ=0无实数根的概率为，则μ等于( )
（A）1 （B）2 （C）4 （D）不能确定
4.(2012·衡阳模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤-2)=( )
（A）0.16 （B）0.32
（C）0.68 （D）0.84
5.某校高考的数学成绩近似服从正态分布N(100,100)，则该校成绩位于(80,120)内的人数占考生总人数的百分比约为( )
（A）22.8% （B）45. 6%
（C）95.44% （D）97.22%
6.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,e2),若P(ξ＞2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)=( )
（A）0.477 （B）0.625 （C）0.954 （D）0.977
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.下面四种说法：
①正态曲线f(x)＝关于直线x＝μ对称；
②正态分布N(μ，σ2)在区间(－∞，μ)内取值的概率小于0.5；
③服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ)以外取值的情况在一次试验中几乎不可能发生；
④当μ一定时，σ越小，曲线越“矮胖”.
其中正确的序号是_______.
8.(2012·益阳模拟)若随机变量X~N(μ,σ2),则P(X≤μ)=_______ __.
9.(2012·潍坊模拟)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为_______.
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.(易错题)某正态曲线的密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体位于区间［－4，－2］的概率.
11.在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N（60，100），已知成绩在90分以上（含90分）的学生有13人.
（1）求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？
（2）若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？
【探究创新】
（16分）某贫困山区居民家庭收入可以认为服从正态分布，现调查10户，得各户的人均收入为(单位：元/户)：
97.89, 102.14, 143.20, 151.30, 103.43,
88.90, 144.20, 120.30, 123.50, 131.64
试以95%以上的可靠性估计该地区居民家庭人均收入的平均值所在的范围.
答案解析
1.【解析】选D.由已知得，∴σ2=1.
由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，故选D.
2.【解析】选D.由题意μ＝0，σ＝，∴P(-22)=1-P(-2≤X≤2)=1-0.997 4=0.002 6.
3.【解析】选C.因为方程x2+4x+ξ=0无实数根的概率为，由Δ=16-4ξ<0,得ξ>4，
即P(ξ>4)= =1-P(ξ≤4),
故P(ξ≤4)=,∴μ=4.
4.【解题指南】根据随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴为x=1,根据正态曲线的特点，得到P（ξ≤-2）=P（ξ≥4）=1-P（ξ≤4），从而得到结果.
【解析】选A.∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），μ=1,∴P(ξ≤-2)=
P(ξ≥4)=1-P(ξ≤4)=0.16.
5.【解题指南】用成绩位于(80,120)内的概率来估计位于(80,120)内的人数占考生总人数的百分比.
【解析】选C.设该校高考数学成绩为X，由X～N(100,102)知，正态分布的两个参数为μ＝100，σ＝10，所以P(80＜X＜120)＝P(100－20＜X＜100＋20)＝0.954 4.
6.【解析】选C.因为随机变量ξ服从正态分布N(0,e2),所以正态曲线关于直线x=0对称又P(ξ＞2)=0.023,所以P(ξ＜-2)=0.023,所以P(-2≤ξ≤2)=1-
P(ξ＞2)-P(ξ＜-2)=1-2×0.023=0.954,故选C.
【变式备选】设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），已知P(ξ<-1.96)=0.025，则P（|ξ|<1.96)=( )
（A）0.025 （B）0.050 （C）0.950 （D）0.975
【解析】选C.P(|ξ|<1.96)=1-2P(ξ<-1.96)=1-0.050=0.950.
7.【解析】由正态曲线的对称性和小概率事件可知①③正确.②中的概率应为0.5，④中σ越小，曲线越“瘦高”.
答案：①③
8.【解析】P(X≤μ)=P(X>μ)且P(X≤μ)+P(X>μ)=1.
故P(X≤μ)=.
答案：
9.【解析】在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，则正态分布密度函数图象的对称轴为x＝1，由ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，可知随机变量ξ在(1,2)内取值的概率与ξ在(0,1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.
答案：0.8
10.【解析】由正态曲线的密度函数是偶函数知μ＝0，由最大值为知σ＝2，
所以P(－2≤X≤2)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 6，
P(－4≤X≤4)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 4，
所以P(－4≤X≤－2)＝×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.
11. 【解题指南】首先分清楚μ、σ,接着分清楚90分以上是小概率事件中的哪一类.
【解析】（1）设学生的成绩为X，共有n人参加竞赛，
∵（60，100），∴μ=60,σ=10.
∴P(X≥90)=［1-P(30＜X＜90)］
=(1-0.997 4)=0.001 3.
又P（X≥90)=，
∴=0.001 3.
∴n=10 000.
（2）设受奖的学生的分数线为x0.
则P（X≥x0）==0.022 8.
∵0.022 8＜0.5，
∴x0＞60.
∴P(120-x0＜X＜x0)=1-2P(X≥x0)=0.954 4，
∴x0=60+20=80.
故受奖学生的分数线是80分.
【探究创新】
【解析】分别求出样本的平均数与方差，再利用正态分布性质解题.
s2=［(97.89-120.65)2+(102.14-120.65)2+(143.20-120.65)2+(151.30-
120.65)2+(103.43-120.65)2+(88.90-120.65)2+(144.20-120.65)2+(120.30-
120.65)2+(123.50-120.65)2+(131.64-120.65)2］
≈429.678，
s≈20.729.
在正态分布N(μ，σ2)中，μ为总体平均数，σ为总体的标准差，故可用、s分别来估计μ、σ.
由于正态分布在(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率为95.44%，故以(120.65-2×20.729, 120.65+2×20.729)=(79.192,162.108)来估计该地区居民人均收入的范围，则可靠性在95%以上.
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