课时提能演练(六十五)
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.不等式的解集为( )
(A)［2，8］ （B）［2，6］
（C）（7，12） （D）{8}
2.（2012·沈阳模拟）用1，2，3，4，5，6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1，3，5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为( )
(A)18 (B)108 (C)216 (D)432
3.(2012·长沙模拟)从5位男生，4位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生的选法共有( )
(A)80种 (B)100种 (C)120种 (D)240种
4.（易错题）如图，三行三列的方阵中有9个数aij(i=1,2,3;j=1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )
（A） （B） （C） （D）
5.（2012·杭州模拟）为了迎接建国63周年国庆，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同.记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )
（A）1 205秒 (B)1 200秒 (C)1 195秒 （D)1 190秒
6.（2012·天津模拟）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是( )
(A)60 (B)48 (C)42 (D)36
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.(2012·邵阳模拟)一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O(0，0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m,n),(m,n∈N*),记可能的爬行方法总数为f(m,n),则f(m,n)=_________.
8.(预测题)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有_______种.
9.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_______种（用数字作答）．
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒子内．
（1）共有多少种放法？
（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？
（3）恰有一个盒子内放2个球，有多少种放法？
（4）恰有两个盒子不放球，有多少种放法？
11.（1）3人坐在有8个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则有多少种不同的坐法？
（2）有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？
（3）现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？
【探究创新】
（16分）由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数.
（1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？
(2)若x=9，其中能被3整除的共有多少个？
(3)若x=0，其中的偶数共有多少个？
(4)若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x.
答案解析
1.【解析】选D.
∴x2-19x+84＜0,又x≤8,x-2≥0,
∴7＜x≤8,x∈N*,即x=8.
2.【解析】选D.第一步，先将1，3，5分成两组，共种方法；第二步，将2，4，6排成一排，共种方法；第三步：将两组奇数插到三个偶数形成的四个空位，共有种方法.综上共有=3×2×6×12=432（种）.
3.【解析】选B.包括两种情形：一是2男2女有
种方法，二是3男1女有种方法，
∴共有＝100种方法，故答案为B.
4.【解析】选D.从9个中选3个有种选法，要使三个数均不同行且不同列共有种选法，所以，所求概率为
5.【解题指南】先用排列算出闪烁个数=120，还要考虑每个闪烁间隔的时间.
【解析】选C.由题知闪烁的总个数为=120.每次闪烁时间为5秒，知总闪烁时间为5×120=600 s，又每两次闪烁之间的间隔为5 s，故闪烁间隔总时间为5×(120-1)=595 s，故总时间为600+595=1 195 s.
6.【解析】选B.方法一：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙，则男生甲必须在A、B之间，此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左），最后在排好的三个元素的4个空位插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法.
方法二：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：
第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有种排法；
第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有种排法；
第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法.此时共有种排法；
三类之和为24＋12＋12＝48种.
7.【解析】从原点O出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为0，则爬到点(m,n)需m个0和n个1.这样爬行方法总数f(m,n)是m个0和n个1的不同排列方法数.m个0和n个1共占m+n个位置，只要从中选取m个放0即可.
∴f(m，n)=.
答案：
8.【解题指南】根据甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,分情况讨论.
【解析】根据题意，可以分情况讨论：① 甲、丙同去，则乙不去，有种；②甲、丙同不去，乙去，有种；③甲、乙、丙都不去，有=120种.故共有600种不同的选派方案．
答案：600
9.【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有种;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有种,所以满足条件的分配方案有（种）.
答案：36
【变式备选】将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有( )
（A）30种 （B）90种
（C）180种 （D）270种
【解析】选B.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组分到3个班，共有种不同的分配方案.
10.【解析】（1）一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有44=256种．
（2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个有种可能，再将4个球分成2，1，1的三组，有种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可.由分步乘法计数原理，共有放法种．
（3）“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此，“恰有一个盒子内放2个球”与“恰有一个盒子不放球”是一种情况.故也有144种放法.
（4）先从四个盒子中任意拿走两个盒子有种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为（3，1），（2，2）两类.第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有种放法；第二类：有种放法.因此共有种.由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有种．
11.【解题指南】对于问题（1）可理解成3个人不相邻问题，采用插空法；对于问题（2）属定序问题，可进行除法；对于问题（3）属“分名额”问题，可分类求解或用隔板法求解.
【解析】（1）由已知有5个座位是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人往5个空座的空隙插，由于这5个空座位之间有4个空，故共有种坐法.
（2）不考虑条件总的排法数为种.
则甲在乙的右边的排法数为种.
（3）方法一：每个学校一个名额，则分去7个,
剩余3个名额分到7所学校的方法数就是所求的分配方法种数.
若3个名额分到1所学校有7种方法，
若分配到2所学校有种方法，
若分配到3所学校有种方法.
故共有7+42+35=84种方法.
方法二：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块隔板插在9个间隔中，共有种不同方法.
所以名额分配的方法共有84种.
【方法技巧】用“隔板法”解决相同元素分配问题：
相同元素的分配问题可以在其之间插入隔板来达到分配的目的.它强调的是分配之后每组元素的个数，而与每一组包含哪几个元素无关.
【例】将9个完全相同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子内，要求每个盒子内的球数不小于其编号数，问有多少种不同的放法.
【解析】先将编号为2的盒子放入1个球，编号为3的盒子内放入2个球，然后只需将余下的6个球分成3组，每组至少有1个球即可.6个球有5个空隙，将两块隔板插入这些空隙中有=10种方法，故有10种不同的放法.
【探究创新】
【解析】(1)5必在个位，所以能被5整除的三位数共有=6个.
(2)∵各位数字之和能被3整除时，该数就能被3整除，
∴这种三位数只能由2,4，9或1,2，9排列组成，
∴共有2×=12个.
(3)偶数数字有3个，个位数必是一个偶数，同时0不能在百位，可分两类考虑：
①0在个位的，有=6个.
②个位是2或4的，有=8个，
∴这种偶数共有6+8=14个.
（4）显然x≠0，∵1,2,4,x在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现次，
∴这样的数字之和是(1+2+4+x)×，即(1+2+4+x)×=252，
∴7+x=14,∴x=7.
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