课时提能演练(七十二)
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为
( )
（A）0.5和0.25 （B）0.5和0.75
（C）1和0.25 （D）1和0.75
2.(2012·株洲模拟)设一随机试验的结果只有A和,且P(A)=m,令随机变量
则X的方差D(X)=( )
(A)m (B)2m(1-m)
(C)m(m-1) (D)m(1-m)
3.已知随机变量ξ+η=8，若 (10,0.6)，则E（η）,D(η)分别是( )
（A）6和2.4 （B）2和2.4
（C）2和5.6 （D）6和5.6
4.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，随机变量ξ=1表示结果中有正面向上，ξ=0表示结果中没有正面向上，则E(ξ)=( )
（A） （B）
（C） （D）1
5.若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为( )
（A） （B） （C）3 （D）
6.利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( )
自然状况
方案
盈利
概率
A1
A2
A3
A4
S1
0.25
50
70
－20
98
S2
0.30
65
26
52
82
S3
0.45
26
16
78
－10
（A）A1 （B）A2 （C）A3 （D）A4
二、填空题（每小题6分，共18分）
7. (2012·湘潭模拟)若p为非负实数，随机变量ξ的概率分布列如表，则E(ξ)的最大值为_________，D(ξ)的最大值为_________.
ξ
0
1
2
P
-p
p
8.(易错题)“好运”出租车公司按月将某辆车出租给司机，按照规定：无论是否出租，该公司每月都要负担这辆车的各种管理费100元，如果在一个月内该车被租的概率是0.8，租金是2 600元，那么公司每月对这辆车收入的期望值为_______元.
9.抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的期望是_______.
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.（预测题）研究室有甲、乙两个课题小组，根据以往资料统计，甲、乙两小组完成课题研究各项任务的概率依次分别为P1=，P2，现假设每个课题研究都有两项工作要完成，并且每项工作的完成互不影响，若在一次课题研究中，两小组完成任务项数相等且都不少于一项，则称该研究室为“先进和谐室”
（1）若P2=，求该研究室在完成一次课题任务中荣获“先进和谐室”的概率；
（2）设在完成6次课题任务中该室获得“先进和谐室”的次数为ξ，求E（ξ)≥2.5时，P2的取值范围.
11.（预测题）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一个试验组中,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的小白鼠的只数多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为.
(1)求一个试验组为甲类组的概率;
(2)观察3个试验组,用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数,求ξ的分布列和数学期望.
【探究创新】
（16分）某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a元的奖品；点数之和为11或10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或8点获三等奖，奖价值为30元的奖品；点数之和小于8点的不得奖.求：
（1）同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率；
（2）如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求a的值.
答案解析
1.【解析】选A.∵X服从两点分布，∴X的概率分布列为
X
0
1
P
0.5
0.5
∴E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，D(X)＝0.52×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25.
2. 【解析】选D.显然X服从两点分布,D(X)=m(1-m).
3.【解析】选B.∵E(ξ)=10×0.6=6，D(ξ)=10×0.6×(1-0.6)=2.4,∴E(η)=E(8-ξ)=8-E(ξ)=8-6=2，D(η)=D(8-ξ)=(-1)2D(ξ)=D(ξ)=2.4.
4.【解析】选C.∵P(ξ=1)=，P(ξ=0)=，
∴E(ξ)=.
5.【解题指南】利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式构造含有x1，x2的方程组求解.
【解析】选C.分析已知条件，利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得：
解得
又∵x1＜x2，∴x1＋x2=3.
6.【解题指南】求出四种方案A1、A2、A3、A4盈利的期望，再结合期望作出判断.
【解析】选C.方案A1、A2、A3、A4盈利的期望分别是：
A1:50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；
A2:70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；
A3:－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；
A4:98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6.
所以A3盈利的期望值最大,所以应选择A3.
7. 【解析】E(ξ)=p+1≤(0≤p≤),
D(ξ)=-p2-p+1≤1.
答案： 1
8.【解析】设公司每月对这辆车的收入为X元，则其分布列为：
X
－100
2 500
P
0.2
0.8
故E(X)＝(－100)×0.2＋2 500×0.8＝1 980元.
答案：1 980
9.【解题指南】先求出一次试验成功的概率，再根据二项分布求解.
【解析】由题意一次试验成功的概率为1－×＝，
10次试验为10次独立重复试验，则成功次数X～B（10，），所以E(X)＝.
答案：
10.【解析】（1）
（2）研究室在一次课题任务中荣获“先进和谐室”的概率为
P=
而ξ～B（6,P）,所以E(ξ)=6P,
由E（ξ）≥2.5知，
解得,又P2≤1,∴.
11.【解析】(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0,1,2;Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0,1,2.
依题意有P（A1）=，P（A2）=，P（B0）=，P（B1）=，
所求的概率为P=P（B0A1）+P（B0A2）+P（B1A2）=.
（2）ξ的可能取值为0，1,2,3,且ξ～B（3，)，
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
【方法技巧】求离散型随机变量均值与方差的基本方法
（1）定义法：已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；
（2）性质法：已知随机变量ξ的均值与方差，求ξ的线性函数η=aξ+b的均值与方差，可直接利用均值、方差的性质求解；
（3）公式法：如能分析所给随机变量，是服从常用的分布(如两点分布，二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.
【变式备选】在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数X的分布列与期望.
【解析】只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.
(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，
P(A)＝1－P()＝1－.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝，P(X＝4)＝.
从而知X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
所以E(X)＝.
【探究创新】
【解析】（1）设掷两颗正方体骰子所得的点数记为（x，y），其中1≤x≤6,1≤y≤6，
则获一等奖只有（6，6）一种可能，其概率为：；
获二等奖共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5种可能，其概率为：；
设事件A表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖”，则有：P（A）=；
（2）设俱乐部在游戏环节收益为ξ元，则ξ的可能取值为30-a,-70,0,30,其分布列为：
ξ
30-a
-70
0
30
P
则：E(ξ)=；由E(ξ)=0得：a=310，即一等奖可设价值为310元的奖品.
【点此下载】