【解析分类汇编系列一：北京2013高三期末】：11统计与概率
1．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则的大小关系是_____________(填，，)
．
【答案】
【解析】去掉一个最高分和一个最低分后，甲乙都有5组数据，此时甲乙的平均数为，，所以。
2．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））下图是根据50个城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是,样本数据的分组为, ,,,,.由图中数据可知_______;样本中平均气温不低于23.5℃的城市个数为________.
【答案】0.18,33
【解析】因为,所以.不低于23.5℃的频率为,所以样本中平均气温不低于23.5℃的城市个数为.
3．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______．
【答案】20
【解析】高三的人数为400人，所以高三抽出的人数为人。
概率
1 ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数则有种，因为，所以要使两组中各数之和相，则有各组数字之和为14.则有；；；；；；；共8种，所以两组中各数之和相等的概率是，选B.
2 ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】从袋中任取2个球，恰有一个红球的概率，选C.
3 ．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）设不等式组 表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到直线的距离大于2的概率是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不等式对应的区域为三角形DEF,当点D在线段BC上时，点D到直线的距离等于2，所以要使点D到直线的距离大于2，则点D应在三角形BCF中。各点的坐标为,所以
,根据几何概型可知所求概率为,选D.
二、填空题
4 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）已知随机变量的分布列如下，则的值等于
【答案】
因为，解得。所以.
三、解答题
5．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 某地区举办了一次数学知识应用竞赛．有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）．
(1) 试估计这40名学生成绩的众数；
(2) 试估计这40名学生的成绩在之间的人数；
(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在 之间的概率．
【解析】(1) 77.5； ………………………………………3分
(2) 所求为：直线与直线之间的直方图的面积，
因此， ………………………7分
答：这40名学生的成绩在之间的有20人．（答19人也算对） ……………8分
(3) 设这5人中恰有2人的成绩在之间为事件，
因为 ……………………………………10分
所以 ……………………………………12分
答：这5人中恰有2人的成绩在之间的概率为0．3087． ………13分
6．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出2个球，求
(Ⅰ)摸出3个白球的概率；
(Ⅱ)摸出至少两个白球的概率；
（Ⅲ）若将摸出至少两个白球记为1分，则一个人有放回地摸2次，求得分X的分布列及数学期望。
【解析】（I）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则
………………..3分
(Ⅱ) 设“至少两个白球”为事件B，则，又
且A2，A3互斥，所以 ………………..6分
（Ⅲ） X的所有可能取值为0，1，2.
所以X的分布列是
X
0
1
2
P
X的数学期望 ………………..13分
7．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为正品，小于为次品．现随机抽取这两种元件各件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
元件A
元件B
（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，
（ⅰ）记为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；
（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．
【解析】（Ⅰ）元件A为正品的概率约为． ………1分
元件B为正品的概率约为． ………………2分
（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量的所有取值为． …………3分
； ；
； ． ………………7分
所以，随机变量的分布列为:
………………8分
． ………………9分
（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有件，则次品有件.
依题意，得 ， 解得 ．
所以 ，或． ………………11分
设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件，
则 ． ………………13分
8．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得1分,没有命中得0分;向乙靶射击一次,命中的概率为,命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
(I)求该射手恰好命中两次的概率;
(II)求该射手的总得分的分布列及数学期望;
(III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.
【解析】(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件,“该射手射击乙靶命中”为事件.
由题意知,,
所以
(II)根据题意,的所有可能取值为0,1,2,3,4.
,
.
,
,
,
故的分布列是
0
1
2
3
4
所以
(III)设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件,“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件,“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”为事件,则为互斥事件.
.
所以,该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为
9（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）.
（Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；
（Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．
【解析】（Ⅰ）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 、，方差分别为 、， 则， ……………………1分 ， ……………………2分
， ……………………4分
， ……………………6分
由于 ，所以 甲车间的产品的重量相对稳定；……………………7分
（Ⅱ）从乙车间６件样品中随机抽取两件，结果共有15个：
．………………9分
设所抽取两件样品重量之差不超过２克的事件为A，则事件A共有4个结果：
． ………………11分
所以 ． ………………13分
10.（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：
甲厂 乙厂
9 0
3 9 6 5 8 1 8 4 5 6 9 0 3
1 5 0 3 2 1 0 3
规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品.
（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；
（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数的分布列及其数学期望；
（Ⅲ）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．
【解析】（I）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为
乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为………………..2分
（II）的取值为0，1，2，3.
所以的分布列为
0
1
2
3
故……………………9分
(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”
抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为…13分
11．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
组别
分组
频数
频率
第1组
[50，60）
8
0.16
第2组
[60，70）
a
▓
第3组
[70，80）
20
0.40
第4组
[80，90）
▓
0.08
第5组
[90， 100]
2
b
合计
▓
▓
（Ⅰ）写出的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求的分布列及其数学期望.
【解析】（Ⅰ）由题意可知，． ………………4分
（Ⅱ）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有
种情况． ………………………………………………………………6分
设事件：随机抽取的2名同学来自同一组，则
.
所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是． …………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，的可能取值为，则
，，．
所以，的分布列为
…………………………………………12分
所以，． ……………………………………13分
12．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:
A型车
出租天数
1
2
3
4
5
6
7
车辆数
5
10
30
35
15
3
2
B型车
出租天数
1
2
3
4
5
6
7
车辆数
14
20
20
16
15
10
5
（I）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；
（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.
【解析】（I）这辆汽车是A型车的概率约为
这辆汽车是A型车的概率为0.6 ………………3分
（II）设“事件表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为天”，
“事件表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为天”，其中
则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
………………5分
………………7分
该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
………………9分
（Ⅲ）设为A型车出租的天数，则的分布列为
1
2
3
4
5
6
7
0.05
0.10
0.30
0.35
0.15
0.03
0.02
设为B型车出租的天数，则的分布列为
1
4
5
6
7[Y.COM/]
0.14
0.20
0.20
0.16
0.15
0.10
0.05[
………12分
一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天. 从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差小于B型车出租天数的方差,综合分析，选择A类型的出租车更加合理 . ………………13分
13．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为.
（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为，求的分布列和数学期望.
【解析】记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件，依题意有
且相互独立.
（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为
. …………………3分
（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件，则有
＝， …………………5分
所以，. ……………………7分
（Ⅲ）的所有可能取值为. ……………………8分
所以，
，
，
=＝ . ……………………11分
分布列为：
……………………12分
所以，. ………………13分
14.（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多投次，每次投篮的结果相互独立.在处每投进一球得分，在处每投进一球得分，否则得分. 将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止.投篮的方案有以下两种：方案1：先在处投一球，以后都在处投；方案2：都在处投篮.甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为.
（Ⅰ） 甲同学选择方案1.
求甲同学测试结束后所得总分等于4的概率；
求甲同学测试结束后所得总分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.
【解析】（Ⅰ）在处投篮命中记作,不中记作；在处投篮命中记作,不中记作；
甲同学测试结束后所得总分为4可记作事件,则
………………2分
②的所有可能取值为，则
………………6分
的分布列为：
0
2
3
4
0.02
0.16
0.5
0.32
………………7分
， ………………9分
（Ⅱ）甲同学选择方案1通过测试的概率为，选择方案2通过测试的概率为 ,
=
因为
所以 甲同学应选择方案2通过测试的概率更大 ………………13分
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