【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】11：概率与统计
一、选择题
1 ．（2013北京东城高三二模数学理科）如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] ,则图中的值等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
成绩在的矩形的面积为，所以，解得，选C.
2 ．（2013北京丰台二模数学理科）已知变量具有线性相关关系,测得的一组数据如下:,其回归方程为,则的值是_______.
【答案】0.9
样本数据的平均数，，即回归直线过点，代入回归直线得，解得。
3（2013北京西城区二模数学理科试题右图是甲，乙两组各名同学身高（单位：）数据
的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为和，
则 ______． （填入：“”，“”，或“”）
【答案】
由茎叶图，甲班平均身高为，乙班平均身高为，所以。
4．（2013北京丰台二模数学理科）在平面区域内任取一点,若满足的概率大于,则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
其构成的区域D如图所示的边长为1的正方形，面积为S1=1，满足所表示的平面区域是以原点为直角坐标顶点，以b为直角边长的直角三角形，其面积为，所以在区域D内随机取一个点，则此点满足的概率,由题意令，解得,选D．
5 ．（2013北京海淀二模数学理科）如图,在边长为的正方形内有不规则图形. 向正方形内随机撒豆子,若撒在图形内和正方形内的豆子数分别为,则图形面积的估计值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设图形面积的为,则由实验结果得，解,所以选C.
6．（2013北京昌平二模数学理科）在区间上随机取一个数,则事件“”发生的概率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由得，解得，所以事件“”发生的概率为，选C.
二、填空题
7 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）将一个质点随机投放在关于的不等式组所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于的概率是_______.
【答案】
画出关于的不等式组所构成的三角形区域，如图．。三角形ABC的面积为。离三个顶点距离等于1的地方为三个小扇形，它们的面积之和为，所以该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于的概率是。
三、解答题
8．（2013北京朝阳二模数学理科试题）为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分,70分,60分,40分,30分五种,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计,得到如下数据表:
成绩等级
A
B
C
D
E
成绩(分)
90
70
60
40
30
人数(名)
4
6
10
7
3
(Ⅰ)根据上面的统计数据,试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人,其成绩等级为“ 或”的概率;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选3人,记表示抽到成绩等级为“或”的学生人数,求的分布列及其数学期望;
(Ⅲ)从这30名学生中,随机选取2人,求“这两个人的成绩之差大于分”的概率.
【答案】解:(Ⅰ)根据统计数据可知,从这30名学生中任选一人,分数等级为“或”的频率为.
从本地区小学生中任意抽取一人,其“数独比赛”分数等级为“ 或”的概率约为
(Ⅱ)由已知得,随机变量的可能取值为0,1,2,3.
所以;;
;.
随机变量的分布列为
0
1
2
3
所以
(Ⅲ)设事件M:从这30名学生中,随机选取2人,这两个人的成绩之差大于分.
设从这30名学生中,随机选取2人,记其比赛成绩分别为.
显然基本事件的总数为.
不妨设,
当时,或或,其基本事件数为;
当时,或,其基本事件数为;
当时,,其基本事件数为;
所以.
所以从这30名学生中,随机选取2人,这两个人的成绩之差大于分的概率为
9.（2013北京丰台二模数学理科）国家对空气质量的分级规定如下表:
污染指数
0~50
51~100
101~150
151~200
201~300
>300
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下:
34
140
18
73
121
210
40
45
78
23
65
79
207
81
60
42
101
38
163
154
22
27
36
151
49
103
135
20
16
48
根据以上信息,解决下列问题:
(Ⅰ)写出下面频率分布表中,b, ,y的值;
(Ⅱ)某人计划今年6月份到此城市观光4天,若将(Ⅰ)中的频率作为概率,他遇到空气质量为优或良的天数用X表示,求X的分布列和均值EX.
频率分布表
分组
频数
频率
[0,50]
14
(50,100]
(100,150]
5
(150,200]
b
y
(200,250]
2
合计
30
1
【答案】解:(Ⅰ),
(Ⅱ)由题意,该市4月份空气质量为优或良的概率为P=,
的分布列为:
X
0
1
2
3
4
P
X~B(4,),
10．（2013北京西城高三二模数学理科）某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满300元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下:
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球,1个黄球,1个白球和1个黑球.顾客不放回的每次摸出1个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元,摸到白球或黄球奖励5元,摸到黑球不奖励.
(Ⅰ)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率;
(Ⅱ)记为1名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】(Ⅰ)解:设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件, 则 ,
故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为
(Ⅱ)解:随机变量的所有取值为
, ,
, ,
所以,随机变量的分布列为:
11．（2013北京顺义二模数学理科）为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,
其中年龄分组区间是:.
(I)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数;
(II)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为,求的分布列及数学期望.
【答案】解:(I)∵小矩形的面积等于频率,∴除外的频率和为0.70,
500名志愿者中,年龄在岁的人数为(人).
(II)用分层抽样的方法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名,
“年龄不低于35岁”的人有8名.
故的可能取值为0,1,2,3,
,,
,,
故的分布列为
0
1
2
3
所以
12．（2013届北京西城区一模理科）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：
现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取名同学进行学业检测．
（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率；
（Ⅱ）记为抽取的名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】（Ⅰ）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 ，…………1分
所以，从甲组抽取的学生人数为；从乙组抽取的学生人数为．…2分
设“从甲组抽取的同学中恰有名女同学”为事件， ……3分
则 ，
故从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率为． …………5分
（Ⅱ）解：随机变量的所有取值为． ………6分
， ，
， ．……………10分
所以，随机变量的分布列为:
………………11分
． ………………13分
13．（2013北京海淀二模数学理科）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下:(1)该福利彩票中奖率为50%;(2)每张中奖彩票的中奖奖金有5元,50元和150元三种;(3)顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为,获得50元奖金的概率为.
(I)假设某顾客一次性花10元购买两张彩票,求其至少有一张彩票中奖的概率;
(II)为了能够筹得资金资助福利事业, 求的取值范围.
【答案】解:(I)设至少一张中奖为事件
则
(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为
则可以取
的分布列为
所以的期望为
所以当 时,即
所以当时,福彩中心可以获取资金资助福利事业
14．（2013北京房山二模数学理科）小明从家到学校有两条路线,路线1上有三个路口,各路口遇到红灯的概率均为;路线2上有两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为.
(Ⅰ)若小明上学走路线1,求最多遇到1次红灯的概率;
(Ⅱ)若小明上学走路线2,求遇到红灯次数的数学期望;
(Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准,请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线,并说明理由.
【答案】(Ⅰ)设走路线1最多遇到1次红灯为A事件,则
(Ⅱ)依题意,的可能取值为0,1,2.
,
,
随机变量的分布列为:
0
1
2
P
(Ⅲ)设选择路线1遇到红灯次数为,则,
所以
因为,所以选择路线1上学最好
15．（2013北京东城高三二模数学理科）某校高三年级同学进行体育测试,测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级.测试结果如下表:(单位:人)
优秀
良好
合格
男
女
按优秀、良好、合格三个等级分层,从中抽取人,其中成绩为优的有人.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若用分层抽样的方法,在合格的同学中按男女抽取一个容量为的样本,从中任选人,记为抽取女生的人数,求的分布列及数学期望.
【答案】(共13分)解:(Ⅰ)设该年级共人,由题意得,所以.
则.
(Ⅱ)依题意,所有取值为.
,,.
的分布列为:
16．（2013北京昌平二模数学理科）某市为了提升市民素质和城市文明程度,促进经济发展有大的提速,对市民进行了“生活满意”度的调查.现随机抽取40位市民,对他们的生活满意指数进行统计分析,得到如下分布表:
满意级别
非常满意
满意
一般
不满意
满意指数(分)
90
60
30
0
人数(个)
15
17
6
2
(I)求这40位市民满意指数的平均值;
(II)以这40人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数,若从全市市民(人数很多)中任选3人,记表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数.求的分布列;
(III)从这40位市民中,先随机选一个人,记他的满意指数为,然后再随机选另一个人,记他的满意指数为,求的概率.
【答案】解:(Ⅰ)记表示这40位市民满意指数的平均值,则
(分)
(Ⅱ)的可能取值为0、1、2、3.
,
,
的分布列为
1
2
(Ⅲ)设所有满足条件的事件为
①满足的事件数为:
②满足的事件数为:
③满足的事件数为:
所以满足条件的事件的概率为
……………11分
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