巩固双基,提升能力
一、选择题
1．(2012·辽宁)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为( )
A. B. C. D.
解析：设AC＝x，由题意知x(12－x)＜32?0＜x＜4或8＜x＜12，所求事件的概率P＝＝.
答案：C
2．(2012·福建)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：令阴影部分的面积为S′，正方形的面积为S，则S＝1，S′＝
(－x)dx＝＝－＝，所以点P恰好取自阴影部分的概率p＝＝.
答案：C
3．(2012·北京)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：坐标系中到原点距离不大于2的点在以原点为圆心，2为半径的圆内及圆上，表示的区域D为边长为2的正方形及其内部，所以所求的概率为＝.
答案：D
4．(2013·福州质检)在区间上随机取一个数x，使得0＜tanx＜1成立的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：由0＜tanx＜1，得0＜x＜，故所求概率为＝.
答案：C
5．(2013·广东联考)在区间[－1,1]上任取两个实数x，y，则满足x2＋y2≥1的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：所求事件的对立事件为任取两个数使x2＋y2＜1，其概率为，故所求概率为.
答案：B
6．(2012·湖北)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A．1－ B.－
C. D.
解析：不妨设扇形的半径为2a，各部分面积如图所示．
则S1＋S2＋S3＋S4＝π(2a)2＝πa2，
又S1＋2S2＋S3＝πa2，故S2＝S4，
由图可知S2＝2×＝πa2－a2，
所以S阴影＝πa2－2a2.
由几何概型概率公式可得所求概率P＝＝＝1－.
答案：A
二、填空题
7．在区间[0,9]上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为__________．
解析：由1≤log2x≤2，得2≤x≤4，根据区间长度关系，得所求概率为.
答案：
8．(2013·云南统考)在[－6,9]内任取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋m，则函数f(x)的图像与x轴有公共点的概率等于__________．
解析：函数f(x)的图像与x轴有公共点应满足Δ＝m2＋4m≥0，解得m≤－4或m≥0，又m∈[－6,9]，故－6≤m≤－4或0≤m≤9，因此所求概率P＝＝.
答案：
9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地在单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影，若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波不在家看书的概率为__________．
解析：本题考查几何概型，设A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，则P(D)＝1－P(C)＝1－＝.
答案：
三、解答题
10．(2013·宁波调研)如图所示，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．
解析：弦长不超过1，即|OQ|≥，而Q点在直径AB上是随机的，记事件A＝{弦长超过1}．
由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.
∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－.
11．(2013·临沂高新区期末)甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．
(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；
(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．
解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y，
则0≤x＜24,0≤y＜24且y－x≥4或y－x≤－4.
作出区域
设“两船无需等待码头空出”为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y≥2或y－x≥4.
设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域
P(B)＝＝＝.
12．(2013·铜陵月考)投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．
(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10内的概率；
(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多
边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．
解析：(1)以0、2、4为横、纵坐标的点P共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个，而这些点中，落在区域C内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个，故所求概率为P＝.
(2)∵区域M的面积为4，而区域C的面积为10π，
∴所求概率为P＝＝.
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