【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】2函数
1.（2013届北京石景山区一模理科）8．若直角坐标平面内的两点p、Q满足条件：①p、Q都在函数y=f（x）的图像上；②p、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．
已知函数，则此函数的“友好点对”有（ ）对．
A． 0 B． 1 C．2 D． 3
【答案】C
根据题意：当时，，则，若函数为奇函数，可有。则函数的图象关于原点对称的函数是。由题意知，作出函数（x＞0）的图象，看它与函数交点个数即可得到友好点对的个数，如图观察图象可得：它们的交点个数是2．
即的“友好点对”有2个．选C.
2.（2013届北京朝阳区一模理科）（8）已知函数.若，使成立，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有
A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个
【答案】B
由题意知，因为，所以，。因为，所以当时，，此时解得，生成点为。当时，，此时解得，生成点为。所以函数的“生成点”共有2个，选B.
3．（2013届北京大兴区一模理科）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
，,所以,选C.
4．（2013届北京丰台区一模理科）如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标（x,y）都满足方程 ，那么正确的选项是 （ ）
A．y=f(x)是区间（0，）上的减函数，且x+y
B．y=f(x)是区间（1，）上的增函数，且x+y
C．y=f(x)是区间（1，）上的减函数，且x+y
D．y=f(x)是区间（1，）上的减函数，且x+y
【答案】C
由，得，因为，解得．由：得．则函数在上单调递减，所以选C.
5．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为，所以，选B.
6．（2013届北京西城区一模理科）已知函数，其中．若对于任意的，都有，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为，所以由，得，即，所以，在恒成立。设，因为，所以若对称轴，则此时满足条件，所以解得。若对称轴，即时，则此时应满足条件，即所以解得，所以此时，综上满足条件的的取值范围是，即，选D.
7．（2013届东城区一模理科）已知定义在上的函数的对称轴为，且当时，.若函数在区间（）上有零点，则的值为 （ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
当时，由，解得，因为，即函数的零点所在的区间为，所以。又函数关于对称，所以另外一个零点在区间，此时，所以选A.
8.（2013届北京朝阳区一模理科）（13）函数是定义在上的偶函数，且满足.当时，.若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是 .
【答案】
由得函数的周期是2.由得，设，作出函数的图象，如图，要使方程恰有四个不相等的实数根，则直线的斜率满足，由题意可知，，所以，所以，即。
9．（2013届北京大兴区一模理科）已知函数，定义,，(,)．把满足（）的x的个数称为函数的“周期点”．则的周期点是 ；周期点是 ．
【答案】 ，
当时，，解得。当时，，解得。所以的“周期点”的个数为2.
当时，，，解得。当时，，，解得。
当时，，解得。当时，，，解得。所以的“周期点”为个.
依次类推，的“周期点”的个数为个。
10．（2013届北京海淀一模理科）已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.
【答案】
要使函数有三个不同的零点，则满足当时，有一个根，此时满足，解得。当时，函数有两个不同的根，此时满足，解得，综上实数的取值范围是。
11．（2013届房山区一模理科数学）某商品在最近天内的单价与时间的函数关系是
日销售量与时间的函数关系是.则这种商品
的日销售额的最大值为 .
【答案】
解：由已知销售价，销售量
∴日销售额为，即当0≤t＜40时，
此函数的对称轴为，又t∈N，最大值为；当40≤t≤100时，，此时函数的对称轴为，最大值为．
综上，这种商品日销售额的最大值为。
12．（2013届房山区一模理科数学）已知函数的定义域是D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①； ②； ③.则 ， .
【答案】
令，则，，所以，。。因为，所以根据根据非减函数的定义可知，函数在区间上的函数值都等于，所以。
13．（2013届门头沟区一模理科）定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“等比函数”。现有定义在上的如下函数：①；②；③；④，则其中是“等比函数”的的序号为 ．
【答案】③④
若①，则，所以不是常数，所以①不是“等比函数”。②若，，所以不是常数，所以②不是“等比函数”。③若，，所以是常数，所以③是“等比函数”。④若，则，，所以是常数，所以④是“等比函数”。所以是“等比函数”的的序号为③④.
14．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知函数有且仅有两个不同的零点，，则 （ ）
A．当时，， B．当时，，
C．当时，， D．当时，，
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