课时跟踪检测(十二) 函数与方程
1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B．－2,0
C. D．0
2．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f·f<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内( )
A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根
C．有唯一的实数根 D．没有实数根
3．(2012·长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，x、f(x)的对应关系如下表：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.13
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
则函数f(x)存在零点的区间有( )
A．区间[1,2]和[2,3]
B．区间[2,3]和[3,4]
C．区间[2,3]、[3,4]和[4,5]
D．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]
4．(2013·北京西城二模)执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①y＝2x； ②y＝－2x； ③f(x)＝x＋x－1；④f(x)＝x－x－1.
则输出函数的序号为( )
A．① B．②
C．③ D．④
5．(2012·北京朝阳统考)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
6．(2013·哈师大模拟)若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点个数是( )
A．5 B．7
C．8 D．10
7．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
8．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
9．(2013·南通质检)已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是________．
10．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.
11．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
12．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
1．(2012·“江南十校”联考)已知关于x的方程|x2－6x|＝a(a>0)的解集为P，则P中所有元素的和可能是( )
A．3,6,9 B．6,9,12
C．9,12,15 D．6,12,15
2．已知函数f(x)＝满足f(0)＝1，且f(0)＋2f(－1)＝0，那么函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________．
3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)若a>b>c，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；
(2)若对x1，x2∈R，且x10，则f(x)在x∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．
答案：(0,0.5) f(0.25)
8．解析：函数f(x)的零点个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a的图象交点的个数，易知当a>1时，两图象有两个交点；当00，则应有f(2)<0，
又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，
∴m<－.
②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则
∴
∴∴－≤m≤－1.
由①②可知m的取值范围(－∞，－1]．
12．解：(1)当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．
(2)当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．则Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点．
B级
1．选B 如图，函数y＝|x2－6x|的图象关于直线x＝3对称，将直线y＝a从下往上移动可知：P中所有元素的和可能是6,9,12.
2．解析：∵f(0)＝1，∴c＝1.又∵f(0)＋2f(－1)＝0，∴f(－1)＝－1－b＋1＝－，得b＝.∴当x>0时，g(x)＝2x－2＝0有唯一解x＝1；当x≤0时，g(x)＝－x2＋x＋1，令g(x)＝0，得x＝2(舍去)或x＝－，
即g(x)＝0有唯一解．综上可知，
g(x)＝f(x)＋x有2个零点．
答案：2
3．证明：(1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0，
又∵a>b>c，∴a>0，c<0，即ac<0.
又∵Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，∴函数f(x)有两个零点．
(2)令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，则g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]＝，
g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝，
∴g(x1)·g(x2)＝·＝－[f(x1)－f(x2)]2.
∵f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)·g(x2)<0.
∴g(x)＝0在(x1，x2)内必有一实根．
即f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]在(x1，x2)内必有一实根．
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