【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】3三角函数 1．（2013届北京大兴区一模理科）函数
（　　） A．在
上递增 B．在
上递增，在
上递减 C．在
上递减 D．在
上递减，在
上递增 【答案】D
因为
，当
时，
。当
时，
，即当
时，函数递增。当
时，函数递减，选D. 2．（2013届北京大兴区一模理科）函数
的最大值是 。 【答案】


,所以函数的最大值为
。 3．（2013届北京海淀一模理科）在
中，若

，则
【答案】

因为
，所以
，解得
。因为
，所以
。由正弦定理
,得
。 4．（2013届北京海淀一模理科）已知函数
，任取
，定义集合：

，点
，
满足
. 设
分别表示集合
中元素的最大值和最小值，记
. 则 （1）函数
的最大值是_____； （2）函数
的单调递增区间为________. 【答案】2，
.
函数的最小正周期为
，点P
，Q
，如图所示：当点P在A点时，点O在曲线OAB上，
，
，
．当点P在曲线上从A接近B时，
逐渐增大，当点P在B点时，
，
，
．当点P在曲线上从B接近C时，
逐渐见减小，当点P在C点时，
，
，
．当点P在曲线上从C接近D时，
逐渐增大，当点P在D点时，
，
，
． 当点P在曲线上从D接近E时，
逐渐见减小，当点P在E点时，
，
，
，…依此类推，发现
的最小正周期为2，，且函数的递增区间为
，所以函数
的单调递增区间为

5．（2013届北京市延庆县一模数学理）在
中，
依次是角
的对边，且
.若
，则角
. 【答案】

由正弦定理得
，即
，解得
,，所以
或
。当
时，
,因为
，所以
,所以
不成立，舍去。所以
。 6．（2013届门头沟区一模理科）在
ABC中，若
，
，
，则
． 【答案】

由
，得
,所以
.所以
,即
，所以
。 7.（2013届北京石景山区一模理科）10．在△ABC中，若∠B=
，
，则∠C= 。 【答案】

：因为
，所以根据正弦定理得
，所以
，又a＜b，所以
，则
． 8.（2013届北京朝阳区一模理科）（10）在
中，
，
，
分别为角
，
，C所对的边.已知角
为锐角，且
,则
. 【答案】

由
得
，所以
,
，即
. 9．（2013届北京大兴区一模理科）在
中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,
，
，
． (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求
及
的面积． 【答案】（Ⅰ）因为
,所以
由正弦定理:
知
得:
（Ⅱ）在
中,


的面积为:
10．（2013届北京丰台区一模理科）已知函数
（Ⅰ）求函数
的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求函数
在
上的值域. 【答案】（Ⅰ）
，…………………3分
最小正周期T=
, …………………………………………………4分 单调增区间
, …………………………………7分 （Ⅱ）
，
， ……………………………………………10分

在
上的值域是
. …………………………………13分 11．（2013届北京海淀一模理科）已知函数
. （Ⅰ）求
的值和
的最小正周期； （Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值和最小值. 【答案】：（I）因为


………………2分

………………4分
………………6分所以
………………7分 所以
的周期为
………………9分 （II）当
时，
，
所以当
时，函数取得最小值
………………11分 当
时，函数取得最大值
………………13分 12．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知
. （Ⅰ）求
的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）若
，求
的最小值及取得最小值时对应的
的取值． 【答案】（Ⅰ）

…………4分

，
最小正周期为
. …………5分 由

，得 …………6分
…………7分
…………8分
单调递增区间为
. …………9分 （Ⅱ）当
时，
， …………10分
在区间
单调递增， …………11分
，对应的
的取值为
. …………13分 13．（2013届北京西城区一模理科）已知函数
的一个零点是
． （Ⅰ）求实数
的值； （Ⅱ）设
，求
的单调递增区间． 【答案】（Ⅰ）解：依题意，得
， ………………1分 即
， ………………3分 解得
． ………………5分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得
． ………………6分

………………7分
………………8分
………………9分
． ………………10分 由
， 得
，
． ……………12分 所以
的单调递增区间为
，
． ……13分 14．（2013届东城区一模理科）在△
中，三个内角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
． （Ⅰ）求角
； （Ⅱ）若
，求
的最大值． 【答案】（Ⅰ）因为
， 由正弦定理可得
， 因为在△
中，
， 所以
. 又
， 所以
. （Ⅱ）由余弦定理
， 因为
，
， 所以
. 因为
， 所以
. 当且仅当
时，
取得最大值
. 15．（2013届房山区一模理科数学）已知函数
（Ⅰ）求
的最小正周期； （Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是
，
，
，若
且
， 试判断△ABC的形状． 【答案】（Ⅰ）

………………………………………4分

…………………6分 周期为
……………………………………7分 （Ⅱ）因为
所以
因为
所以
……………………………………8分 所以
所以
…………………………………9分
………………………………………11分 整理得
…………………………………………12分 所以 三角形ABC为等边三角形 …………………………………………13分 16．（2013届门头沟区一模理科）已知：函数
． （Ⅰ）求函数
的对称轴方程； （Ⅱ）当
时，求函数
的最大值和最小值． 【答案】（Ⅰ）

…… 5分

…………………………… 7分 函数关于直线
对称 所以 对称轴方程为
…………………………… 9分 （Ⅱ）当
时，
由函数图象可知，
的最大值为1，最小值为
……………………………12分 所以函数
的最大值为
，最小值为
…… ………………13分 15.（2013届北京朝阳区一模理科）（15）（本小题满分13分） 已知函数
（
）的最小正周期为
. （Ⅰ）求
的值及函数
的单调递增区间； （Ⅱ）当
时，求函数
的取值范围. 解：（Ⅰ）


. …………………………………………4分 因为
最小正周期为
，所以
. ………………………………6分 所以
. 由
，
，得
. 所以函数
的单调递增区间为[
]，
. ………………8分 （Ⅱ）因为
，所以
， …………………………………10分 所以
. ………………………………………12分 所以函数
在
上的取值范围是[
]. ……………………………13分 18.（2013届北京石景山区一模理科）15．（本小题满分13分） 已知函数
． （Ⅰ）求函数
的单调递增区间； （Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知
,
，
，求△ABC的面积． 解：（Ⅰ）


…………1分

…………3分 令

…………5分 函数
的单调递增区间
. …………6分 （Ⅱ）由
，
， 因为
为
内角，由题意知
，所以
因此
，解得
． …………8分 由正弦定理
，得
， …………10分 由
，由
，可得
，…………12分 ∴
． …………13分

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