【解析分类汇编系列一：北京2013高三期末】：14.导数与积分 一、选择题 1 ．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 （　　） A． B． C． D．  【答案】B 当时，，所以，即函数在点处的切线为，做出区域D,如图由得。平移直线，由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最小，此时最大，代入得，选B. 二、填空题 2 ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）图中阴影部分的面积等于　 ． 【答案】 【解析】根据积分应用可知所求面积为。 3．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ） = . 【答案】 . 三、解答题 4．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 设 （1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围； （2）当时，在上的最小值为，求在该区 间上的最大值. 【答案】（1） ……………………………2分 在上存在单调递增区间 存在的子区间，使得时 在上单调递减 ，即 解得 当时，在上存在单调递增区间 ………………………………6分 （2）令  ； 在上单调递减，在上单调递增   在上单调递增，在上单调递减 …………………………………8分 所以的最大值为 ， …… ……10分 解得  … ………13分 5．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知函数 (Ⅰ)若，求函数在（1，）处的切线方程； (Ⅱ)讨论函数的单调区间 【答案】（1）当时，  ， 切线方程为 …… 4分 (2) 定义域  令，解得， ①当，恒成立，则是函数的单调递增区间 ②当时，， 在区间（0,1）和（）上，；在（）区间上， 故的单调递增区间是（0,1）和（），单调递减区间是（） ③当时，在区间（0, ）和（）上，；在（）区间上，故的单调递增区间是（0, ）和（），单调递减区间是（） ④当时，，在区间（0,1）上，在区间（）上，，故的单调递增区间是（），单调递减区间是（0,1）。 …… 13分 6．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知，函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求在区间上的最小值． 【答案】（Ⅰ）当时，，， 所以，.………………………………2分 因此． 即曲线在点处的切线斜率为. …………………………4分 又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即．……………………………………………6分 （Ⅱ）因为，所以． 令，得． ……………………………………………8分 ①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值． ②若，当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值．………………………………10分 ③若，则当时，，函数在区间上单调递减， 所以当时，函数取得最小值．…………………………………12分 综上可知，当时，函数在区间上无最小值； 当时，函数在区间上的最小值为； 当时，函数在区间上的最小值为．……………13分 7．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知函数（）. （Ⅰ）求函数的单调区间; (Ⅱ）函数的图像在处的切线的斜率为若函数，在区间（1，3）上不是单调函数，求 的取值范围。 【答案】（I） ……2分 当 即  f(x)的单调递增区间为（0，）,单调递减区间为（, ………4分 当 ， 即 f(x)的单调递增区间为（,,单调递减区间为（0，） ……6分 （II）得  ……8分 +3  ……9分  ………10分  ……11分 ……12分  即： ……13分 8．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知函数，其中． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）设．若，使，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）解：① 当时，． 故的单调减区间为，；无单调增区间． ………………1分 ② 当时，． ………………3分 令，得，． 和的情况如下：                ↘  ↗  ↘  故的单调减区间为，；单调增区间为． ………………5分 ③ 当时，的定义域为． 因为在上恒成立， 故的单调减区间为，，；无单调增区间． ………………7分 （Ⅱ）解：因为，， 所以  等价于 ，其中． ………………9分 设，在区间上的最大值为．………………11分 则“，使得 ”等价于． 所以，的取值范围是． ………………13分 9．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））设函数. (I)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求的值; (II)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围; (III)当时,求函数在区间上的最大值. 【答案】(I). 因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,所以,且, 即,且, 解得 (II)记,当时, , , 令,得. 当变化时,的变化情况如下表:          0 — 0    ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗  所以函数的单调递增区间为;单调递减区间为, 故在区间内单调递增,在区间内单调递减, 从而函数在区间内恰有两个零点,当且仅当 解得, 所以的取值范围是 (III)记,当时, . 由(II)可知,函数的单调递增区间为;单调递减区间为. ①当时,即时,在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为; ②当且,即时,在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以在区间上的最大值为; 当且,即时,t+3<2且h(2)=h(-1),所以在区间上的最大值为; ③当时,, 在区间上单调递减,在区间上单调递增,而最大值为与中的较大者. 由知,当时,, 所以在区间上的最大值为; ④当时,在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为 10．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知函数 （Ⅰ）若函数在处有极值为10，求b的值； （Ⅱ）若对于任意的，在上单调递增，求b的最小值． 【答案】（Ⅰ），　　　　　　　　……………………………… 1分 于是，根据题设有  解得 或  ……………………3分 当时，，，所以函数有极值点； ………………………………………………………………4分 当时，，所以函数无极值点．……………5分 所以　．………………………………………………………………6分 （Ⅱ）法一：对任意，都成立，………7分 所以 对任意，都成立…8分 因为 , 所以 在上为单调递增函数或为常数函数， ………9分 所以 对任意都成立 …10分 即 . …………………………………………11分 又， 所以　当时，，………………………………12分 所以　， 所以　的最小值为． ………………………………13分 法二：对任意，都成立， ……………7分 即对任意，都成立， 即． …………………………………………8分 令，………………………………9分 当时，，于是；…………………………10分 当时，，于是， ．………11分 又 ，所以 ． ………………………………12分 综上，的最小值为． ………………………………13分 11．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）已知函数的导函数的两个零点为-3和0. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若f(x)的极小值为，求f(x)在区间上的最大值. 【答案】（Ⅰ）．.......2分 令， 因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同. 又因为，所以时，g(x)>0,即， ………………………4分 当时,g(x)<0 ,即， …………………………………………6分 所以的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．……7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，=-3是的极小值点，所以有  解得， …………………………………………………………11分 所以. 的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）,（0，+∞）， 为函数的极大值, …………………………………………………12分 在区间上的最大值取和中的最大者. …………….13分 而>5，所以函数f(x)在区间上的最大值是．.…14分 12．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知函数（）. （Ⅰ）若函数的图象在点P（1，）处的切线的倾斜角为，求在上的最小值； （Ⅱ）若存在，使，求a的取值范围． 【答案】（I） …………………………. ……………1分 根据题意， …………………3分 此时，,则. 令          -  +     ↘  ↗   …………………………………………………………………………………………. 6分 ∴当时，最小值为. ………………………7分 （II） ①若上单调递减. 又 …………………………………………..10分 ②若 从而在（0，上单调递增，在（，+上单调递减.  根据题意， …………….............................. 13分 综上，的取值范围是. 13．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数． （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】函数的定义域为， ． …………………………………………………1分 （Ⅰ）当时，函数，，． 所以曲线在点处的切线方程为， 即．………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）函数的定义域为． （1）当时，在上恒成立， 则在上恒成立，此时在上单调递减． ……………4分 （2）当时，， （ⅰ）若， 由，即，得或； ………………5分 由，即，得．………………………6分 所以函数的单调递增区间为和， 单调递减区间为． ……………………………………7分 （ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增． ………………………………………………………………8分 （Ⅲ））因为存在一个使得， 则，等价于.…………………………………………………9分 令，等价于“当 时，”. 对求导，得. ……………………………………………10分 因为当时，，所以在上单调递增. ……………12分 所以，因此. …………………………………………13分 另解： 设，定义域为， . 依题意，至少存在一个，使得成立， 等价于当 时，. ………………………………………9分 （1）当时， 在恒成立，所以在单调递减，只要， 则不满足题意. ……………………………………………………………………10分 （2）当时，令得. （ⅰ）当，即时， 在上，所以在上单调递增， 所以， 由得，， 所以. ……………………………………………………………………11分 （ⅱ）当，即时， 在上，所以在单调递减， 所以， 由得.…………………………………………………………………12分 （ⅲ）当，即时， 在上，在上， 所以在单调递减，在单调递增， ，等价于或，解得， 所以，. 综上所述，实数的取值范围为. ………………………………………13分 14.（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数 （I） 当时,求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间. 【答案】当时，， …………2分[ 又，， 所以在处的切线方程为 …………4分 （II） 当时， 又函数的定义域为 所以 的单调递减区间为 …………6分 当 时，令，即，解得 ………7分 当时，， 所以，随的变化情况如下表          无定义  0       极小值   所以的单调递减区间为，， 单调递增区间为 ………………10分 当时， 所以，随的变化情况如下表：          0  无定义     极大值     所以的单调递增区间为， 单调递减区间为， ………………13分 15．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数是常数． （Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程； （Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方； （Ⅲ）讨论函数零点的个数． 【答案】（Ⅰ） …………………1分 ， ，所以切线的方程为 ，即． …………………3分 （Ⅱ）令则            ↗ 最大值 ↘  …………………6分 ，所以且，，， 即函数的图像在直线的下方． …………………8分 （Ⅲ）令， . 令 ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，的最大值为. 所以若，则无零点；若有零点，则．………………10分 若，，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点. 若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）. 若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点. 综上所述，当时，无零点； 当或时，有且仅有一个零点； 当时，有两个零点. …………………13分 16．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）(本小题满分13分)已知函数 . （Ⅰ）若函数在处取得极值，求的值； （Ⅱ）当时，讨论函数的单调性. 【答案】（Ⅰ） ………………1分  依题意有，  ………………3分 解得， ………………5分 经检验， 符合题意， 所以， (Ⅱ) 当时， 当时， 解， 得 当时，；当时， 所以减区间为，增区间为. ………………7分 当时，解， 得， ………………9分 当时， 当或时，；当时， 所以增区间为，，减区间为. ………………11分 当时， 当或时，；当时， 所以增区间为，减区间为,. ………………13分 综上所述：当时, 减区间为，增区间为； 当时, 增区间为，，减区间为； 当时, 增区间为，减区间为，.
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