课时跟踪检测(十四) 变化率与导数、导数的计算
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( )
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
2．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为( )
A. B.
C. D.
3．(2012·哈尔滨模拟)已知a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导函数f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为( )
A．y＝－3x B．y＝－2x
C．y＝3x D．y＝2x
4．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于( )
A．－1 B.
C．－2 D．2
5．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为( )
A．1 B.
C. D.
6．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( )
A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0
C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数
7．(2013·郑州模拟)已知函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________.
8．(2012·辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．
9．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f(x)＝x－sin x－cos x的图象在点A(x0，y0)处的切线斜率为1，则tan x0＝________.
10．求下列函数的导数．
(1)y＝x·tan x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
11．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．
12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1，当曲线y＝f(x)斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行时，求a的值．
1．(2012·商丘二模)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(0)＝( )
A．0 B．26
C．29 D．212
2．已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2 012＝________.
3．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l，根据以下条件求l的方程．
(1)直线l和y＝f(x)相切且以P为切点；
(2)直线l和y＝f(x)相切且切点异于P.
[答 题 栏]
A级
1._________ 2._________ 3._________ 4._________ 5.__________ 6._________
B级
1.______ 2.______
7. __________ 8. __________ 9. __________
答 案
课时跟踪检测(十四)
A级
1．C 2.D 3.B 4.A
5．选B 设P(x0，y0)到直线y＝x－2的距离最小，则y′|x＝x0＝2x0－＝1.
得x0＝1或x0＝－(舍)．
∴P点坐标(1,1)．
∴P到直线y＝x－2距离为
d＝＝.
6．选C 由f′(x)＝g′(x)，
得f′(x)－g′(x)＝0，
即[f(x)－g(x)]′＝0，
所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)．
7．解析：∵f′(x)＝－2f′(－1)x＋3，
f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，
∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.
答案：8
8．解析：易知抛物线y＝x2上的点P(4,8)，Q(－2,2)，且y′＝x，则过点P的切线方程为y＝4x－8，过点Q的切线方程为y＝－2x－2，联立两个方程解得交点A(1，－4)，所以点A的纵坐标是－4.
答案：－4
9．解析：由f(x)＝x－sin x－cos x得f′(x)＝－cos x＋sin x，
则k＝f′(x0)＝－cos x0＋sin x0＝1，
即sin x0－cos x0＝1，
即sin＝1.
所以x0－＝2kπ＋，k∈Z，解得x0＝2kπ＋，k∈Z.
故tan x0＝tan＝tan＝－.
答案：－
10．解：(1)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′
＝tan x＋x·′＝tan x＋x·＝tan x＋.
(2)y′＝(x＋1)′(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)·[(x＋2)(x＋3)]′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋12x＋11.
11．解：根据题意有
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a.
所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)，
得：y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)．
得y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，
所以，两条切线不是同一条直线．
12．解：f′(x)＝3x2＋2ax－9＝32－9－，即当x＝－时，函数f′(x)取得最小值－9－，因斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
即该切线的斜率为－12，所以－9－＝－12，
即a2＝9，即a＝±3.
B级
1．选D ∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，
∴f′(x)＝x′(x－a1)…(x－a8)＋x[(x－a1)…(x－a8)]′
＝(x－a1)…(x－a8)＋x[(x－a1)…(x－a8)]′，
∴f′(0)＝(－a1)·(－a2)·…·(－a8)＋0＝a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.
2．解析：f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，
f3(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，
f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x，
以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)，
又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，
∴f1＋f2＋…＋f2 012＝503f1＋f2＋f3＋f4＝0.
答案：0
3．解：(1)由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，
故所求的直线方程为y＝－2.
(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－3.
又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，
故其斜率可表示为
＝，
所以＝3x－3，
即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)．
解得x0＝1(舍去)或x0＝－，
故所求直线的斜率为
k＝3＝－.
所以l的方程为y－(－2)＝－(x－1)，
即9x＋4y－1＝0.
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