【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】5数列
1．（2013届北京丰台区一模理科）设为等比数列的前项和，，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
在等比数列中，由得，所以，选B.
2．（2013届北京西城区一模理科）等比数列中，，则“”是“”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
由得，且，解得，即或。，所以当时，，得。当时，，得。若，则，即，所以，此时，所以“”是“”的必要而不充分条件，选B.
3．（2013届东城区一模理科）已知数列中，，，，那么数列的前项和等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由得，所以数列为公比数列，公比，所以，所以，为等差数列。所以数列的前项和为，选C.
4．（2013届房山区一模理科数学）已知为等差数列，为其前项和.若，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由得，解得，所以，选D.
5．（2013届北京海淀一模理科）等差数列中,, 则
【答案】14
在等差数列中，，由，所以或。若，解得，此时。若，解得，此时，综上。
6.（2013届北京石景山区一模理科）11．在等差数列{an}中，al=-2013，其前n项和为Sn，若，则的值等于 。
【答案】
在等差数列中，由得，即，所以。
7.（2013届北京朝阳区一模理科）（9）在等比数列中，，则 ，为等差数列，且，则数列的前5项和等于 .
【答案】，
在等比数列中，解得。在等差数列中，所以。
8．（2013届北京市延庆县一模数学理）以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间上（除两个端点外）的点，在第次操作完成后，恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为，则 ； .
【答案】； （这里为中的所有奇数）
第一次操作后，原来的坐标1、3 变成2；原来的坐标2变成4；
第二次操作后，原来的坐标1、3 变成4，而2对应着第一次操作之前的0；
这种操作实际上就是不断地把每条线段平分为两部分，每一部分的中点在操作之后对应的坐标都是2，第一次操作之后，与4对应的点的坐标为2，只有1个；
第二次操作之后，与4对应的点应取0与2的中点1，2与4的中点3，共2个；
第三次操作之后，与4对应的点应取0与1的中点，1与2的中点，2与3的中点，3与4的中点，共4个，其坐标分别为.
依此类推，第次操作之后，与4对应的点的坐标应为：，（其中为中的所有奇数）．
9．（2013届北京西城区一模理科）设等差数列的公差不为，其前项和是．若，，则______．
【答案】
由得。又，所以，所以。
10．（2013届北京西城区一模理科）记实数中的最大数为，最小数为.设△的三边边长分别为，且，定义△的倾斜度为．
（ⅰ）若△为等腰三角形，则______；（ⅱ）设，则的取值范围是______．
【答案】，
（ⅰ）若△为等边三角形，则，所以，所以。
△为等腰三角形，不妨设，则，所以，综上。
（ⅱ）若，，所以，
而。
①当时，t=c?=，可得c=tb，（t≥1）
∵由1+b＞c，得1+b＞tb，∴t≠1时，b＜
∵c=tb＜b2，∴t＜b，可得t＜，解之得
而t=1时，b=c＞a=1，符合题意．所以此时t的范围为
②当时，t=c?=b，∵1+b＞c且，
∴1+b＞b2，解之得。即，得此时t的范围为
综上所述，可得当时，t的取值范围是．
11．（2013届东城区一模理科）数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若， 则位于第10行的第8列的项等于 ，在图中位于 ．（填第几行的第几列）
【答案】 第行的第列
因为第行的最后一项为，所以第9行的最后一项为，所以第10行的第8列的项为。因为，所以在图中位于第行的第列。
12．（2013届门头沟区一模理科）在等差数列中，，，则等于 ．
【答案】
因为，，所以，，即，所以，所以。
13．（2013届北京大兴区一模理科）已知数列的各项均为正整数，且，
设集合。
性质1 若对于，存在唯一一组（）使成立，则称数列为完备数列，当k取最大值时称数列为k阶完备数列。
性质2 若记，且对于任意，，都有成立，则称数列为完整数列，当k取最大值时称数列为k阶完整数列。
性质3 若数列同时具有性质1及性质2，则称此数列为完美数列，当取最大值时称为阶完美数列；
（Ⅰ）若数列的通项公式为，求集合，并指出分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；
（Ⅱ）若数列的通项公式为，求证：数列为阶完备数列，并求出集合中所有元素的和。
（Ⅲ）若数列为阶完美数列，求数列的通项公式。
【答案】（Ⅰ）；
为2阶完备数列，阶完整数列，2阶完美数列；
（Ⅱ）若对于，假设存在2组及（）使成立，则有
，即
，其中，必有，
所以仅存在唯一一组（）使成立，
即数列为阶完备数列；
，对，，则，因为，则，所以，即
（Ⅲ）若存在阶完美数列，则由性质1易知中必有个元素，由（Ⅱ）知中元素成对出现（互为相反数），且，又具有性质2，则中个元素必为
，。
下面用数学归纳法证明
显然时命题成立，假设当（时命题成立，即
当时，只需证
由于对称性只写出了元素正的部分，其中
既中正的部分的个元素统一为，其中
则中从，到这个元素可以用唯一表示其中，
中从（+1）到最大值这个元素可用唯一表示
其中
中正的部分个元素都存在唯一一组（）使成立，
所以当时命题成立。
即{}为阶完美数列，
14．（2013届北京丰台区一模理科）设满足以下两个条件的有穷数列为n（n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：
① ；
② .
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（Ⅱ）若某2k+1()阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为，
试证：（1）； （2）
【答案】（Ⅰ）数列为三阶期待数列…………………………………1分
数列为四阶期待数列,………………..…..3分(其它答案酌情给分)
（Ⅱ）设等差数列的公差为，
，
所以，
即， …………………………………4分
当d=0时,与期待数列的条件①②矛盾， ………………………………………5分
当d>0时,据期待数列的条件①②得：
由得，
………7分
当d<0时，
同理可得
由得，
……8分
（Ⅲ）（1）当k=n时，显然成立；……………………9分
当k
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