【解析分类汇编系列二:北京2013(一模)数学理】7立体几何
1.(2013届北京朝阳区一模理科)(6)某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为
A. B. C. D. 8
【答案】D
由三视图可知,该几何体的为,其中长方体底面为正方形,正方形的边长为2.其中,将相同的两个几何体放在一起,构成一个高为4的长方体,所以该几何体体积为。
2.(2013届北京大兴区一模理科)已知平面,直线,下列命题中不正确的是 ( )
A.若,,则∥
B.若∥,,则
C.若∥,,则∥
D.若,,则.
【答案】C
C中,当∥时,只和过平面与的交线平行,所以不正确。
3.(2013届北京海淀一模理科)设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4,5,6的直线.给出下列三个结论:
①,使得是直角三角形;
②,使得是等边三角形;
③三条直线上存在四点,使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.
其中,所有正确结论的序号是 ( )
A.① B.①② C.①③ D.②③
【答案】B
我们不妨先将?A、B、C?按如图所示放置.容易看出此时?BC<AB=AC.现在,我们将?A?和?B?往上移,并且总保持?AB=AC(这是可以做到的,只要?A、B?的速度满足一定关系),而当A、B?移得很高很高时,不难想象△ABC?将会变得很扁,也就是会变成顶角?A“非常钝”的一个等腰钝角三角形.于是,在移动过程中,总有一刻,使△ABC?成为等边三角形,亦总有另一刻,使△ABC?成为直角三角形(而且还是等腰的).这样,就得到①和②都是正确的.至于③,如图所示为方便书写,称三条两两垂直的棱所共的顶点为?.假设?A?是?,那么由?AD⊥AB,AD⊥AC?知?L3⊥△ABC,从而△ABC?三边的长就是三条直线的距离 4、5、6,这就与?AB⊥AC?矛盾.同理可知?D?是?时也矛盾;假设?C?是?,那么由?BC⊥CA,BC⊥CD?知?BC⊥△CAD,而?l1∥△CAD,故?BC⊥l1,从而?BC?为?l1与?l2?的距离,于是?EF∥BC,EF=BC,这样就得到?EF⊥FG,矛盾.同理可知?B?是?时也矛盾.综上,不存在四点Ai(i=1,2,3,4),使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.
4.(2013届北京市延庆县一模数学理)一四面体的三视图如图所示,则该四面体四个面中最大的面积是
( )
A. B. C. D.
【答案】D
将该几何体放入边长为2的正方体中,由三视图可知该四面体为,由直观图可知,最大的面为.在等边三角形中,,所以面积,选D.
5.(2013届北京西城区一模理科)某正三棱柱的三视图如图所示,其中正(主)视图是边长为的正方形,该正三棱柱的表面积是( )
A.B.C. D.
【答案】C
由三视图可知,正三棱柱的高为2,底面边长为2,所以底面积为,侧面积为,所以正三棱柱的表面积是,选C.
6.(2013届北京西城区一模理科)如图,正方体中,为底面上的动点,于,且,则点的轨迹是 ( )
A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分
【答案】A
连接,由题意知因为,且,所以,所以,即为定点。因为所以点P位于线段的中垂面上,又点P在底面上,所以点P的轨迹为两平面的交线,即点的轨迹是线段。选A.
7.(2013届房山区一模理科数学)某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面积中,最大的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
由三视图可知该几何体是个底面是正三角形,棱垂直底的三棱锥。其中,取的中点,则,所以的面积为,选C.
8.(2013届门头沟区一模理科)一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是
A.B.C.D.
【答案】C
由三视图可知该几何体时一个正方体去掉以角,其直观图如图,其中正方体的边长为1.所以正方体的体积为1.去掉的三棱锥的体积为,所以该几何体的体积为,选C.
9.(2013届北京丰台区一模理科)某四面体的三视图如图所示,则该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是_______.
【答案】
由三视图可得原几何体如图,该几何体的高PO=2,底面ABC为边长为2的等腰直角三角形,所以,该几何体中,直角三角形是底面ABC和侧面PBC.因为PO⊥底面ABC,所以平面PAC⊥底面ABC,而BC⊥AC,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥AC.
PC=...
所以,则该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是.
10.(2013届北京石景山区一模理科)12.某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱长度是
【答案】
由三视图可知:该几何体是一个四棱锥,如图所示,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=2,底面ABCD是一个直角梯形,AD∥BC,AD⊥DC,AD=2,DC=3,BC=4,BD=5.
所以则最长的一条侧棱PB,其长度是.
11.(2013届北京大兴区一模理科)如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,是等边三角形,D是BC的中点.
(Ⅰ)求证:A1B//平面ADC1;
(Ⅱ)若AB=BB1=2,求A1D与平面AC1D所成角的正弦值.
证明:(I)因为三棱柱是直三棱柱,所以四边形是矩形。
连结交于O,则O是的中点,又D是BC的中点,所以在中,。
因为平面,平面,所以平面。
(II)因为是等边三角形,D是BC的中点,所以。以D为原点,建立如图所示空间坐标系。由已知,得:
,,,.
则,,设平面的法向量为。
由,得到,令,则,,所以.
又,得。
所以
设与平面所成角为,则。
所以与平面所成角的正弦值为。
12.(2013届北京丰台区一模理科)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,MD⊥平面ABCD,NB∥MD,且NB=1,MD=2;
(Ⅰ)求证:AM∥平面BCN;
(Ⅱ)求AN与平面MNC所成角的正弦值;
(Ⅲ)E为直线MN上一点,且平面ADE⊥平面MNC,求的值.
.
【解析】(Ⅰ)∵ABCD是正方形,
∴BC∥AD.
∵BC(平面AMD,AD平面AMD,
∴BC∥平面AMD.
∵NB∥MD,
∵NB(平面AMD,MD平面AMD,
∴NB∥平面AMD.
∵NBBC=B,NB平面BCN, BC平面BCN,
∴平面AMD∥平面BCN…………………………………………………………………………………3分
∵AM平面AMD,
∴AM∥平面BCN…………………………………………………………………………………………4分
(也可建立直角坐标系,证明AM垂直平面BCN的法向量,酌情给分)
(Ⅱ)平面ABCD,ABCD是正方形,所以,可选点D为原点,DA,DC,DM所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(如图)…………………………………………………………………5分
则,,,.
, ………………………………………6分
,,
设平面MNC的法向量,
则,令,则 … 7分
设AN与平面MNC所成角为,
. ……9分
(Ⅲ)设,,,
又,
E点的坐标为, …………………………11分
面MDC,,
欲使平面ADE⊥平面MNC,只要,
,,
. …………………………………………14分
13.(2013届北京海淀一模理科)在四棱锥中,平面,是正三角形,与的交点恰好是中点,又,,点在线段上,且.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
证明:(I) 因为是正三角形,是中点,
所以,即………………1分
又因为,平面,………………2分
又,所以平面………………3分
又平面,所以………………4分(Ⅱ)在正三角形中,………………5分
在中,因为为中点,,所以
,所以,所以………………6分
在等腰直角三角形中,,,
所以,,所以………………8分
又平面,平面,所以平面………………9分
(Ⅲ)因为,
所以,分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系,
所以
由(Ⅱ)可知,
为平面的法向量………………10分
,
设平面的一个法向量为,
则,即,
令则平面的一个法向量为………………12分
设二面角的大小为, 则
所以二面角余弦值为………………14分
14.(2013届北京市延庆县一模数学理)如图,四棱锥的底面为菱形,,侧面是边长为2的正三角形,侧面底面.
(Ⅰ)设的中点为,求证:平面;
(Ⅱ)求斜线与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)在侧棱上存在一点,使得二面角
的大小为,求的值.
(Ⅰ)证明:因为侧面是正三角形,的中点为,所以,
因为侧面底面,侧面底面,侧面,
所以平面. ………3分(Ⅱ)连结,设,建立空间直角坐标系,
则,,,,,………5分
,平面的法向量,
设斜线与平面所成角的为,
则. ………8分
(Ⅲ)设,则,
,, ………10分
设平面的法向量为,则,
,
取,得,又平面的法向量………12分
所以,所以,
解得(舍去)或.所以,此时. ………14分
15.(2013届北京西城区一模理科)在如图所示的几何体中,面为正方形,面为等腰梯形,//,,
,.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使平面平面?证明你的结论.
(Ⅰ)证明:因为,,
在△中,由余弦定理可得 ,
所以 . ………………2分
又因为 ,
所以平面. ………………4分
(Ⅱ)解:因为平面,所以.
因为,所以平面. ………………5分
所以两两互相垂直,如图建立的空间直角坐标系. ………………6分在等腰梯形中,可得 .
设,所以.
所以 ,,.
设平面的法向量为,则有
所以 取,得. ………………8分
设与平面所成的角为,则 ,
所以 与平面所成角的正弦值为. ………………9分
(Ⅲ)解:线段上不存在点,使平面平面.证明如下: ………………10分
假设线段上存在点,设 ,所以.
设平面的法向量为,则有
所以 取 ,得. ………………12分
要使平面平面,只需, ………………13分
即 , 此方程无解.
所以线段上不存在点,使平面平面. ………………14分
16.(2013届东城区一模理科)如图,已知是直角梯形,且,平面平面,,,, 是的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角大小的余弦值.
证明(Ⅰ)取的中点,连结,.
因为是的中点,
所以,.
因为,且,
所以,且,
所以四边形是平行四边形.
所以.
因为平面,平面,
所以平面.
(Ⅱ)因为,平面平面,
所以以点为原点,直线为轴,直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则轴在平面内.
由已知可得,,,.
所以,,
设平面的法向量为.
由
所以
取,
所以 .
又因为平面的一个法向量为
.
所以.
即平面与平面所成锐二面角大小的余弦值为.
17.(2013届房山区一模理科数学)在四棱锥中,侧面⊥底面, 为直角梯形,//,,,,为的中点.
(Ⅰ)求证:PA//平面BEF;
(Ⅱ)若PC与AB所成角为,求的长;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求二面角F-BE-A的余弦值.
(Ⅰ)证明:连接AC交BE于O,并连接EC,FO
// ,, 为中点
AE//BC,且AE=BC
四边形ABCE为平行四边形
O为AC中点 ………………………………….………………..1分
又 F为AD中点
// ……………………………………………...….2分
……………...….3分
//平面 ………………………………………..……..…..4分
(Ⅱ)解法一:
………………………….…………………6分
易知 BCDE为正方形
建立如图空间直角坐标系,()
则
,…….………8分
解得: …………… ………….9分
解法二:由BCDE为正方形可得
由ABCE为平行四边形 可得 //
为 即…………………………………..…5分
……………………… ………………….…7分
………………… …………………………….8分
…………………………………..………9分
(Ⅲ)为的中点,所以 ,
,
设是平面BEF的法向量
则
取,则,得 ……………………………………………….11分
是平面ABE的法向量 ………………………………………………….12分
………………………………………………….13分
由图可知二面角的平面角是钝角,
所以二面角的余弦值为.………………………………………….14分
18.(2013届门头沟区一模理科)在等腰梯形ABCD中,,,,N是BC的中点.将梯形ABCD绕AB旋转,得到梯形(如图).
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
(Ⅰ)证明:因为,N是BC的中点
所以,又
所以四边形是平行四边形,所以
又因为等腰梯形,,
所以 ,所以四边形是菱形,所以
所以,即
由已知可知 平面平面,
因为 平面平面
所以平面 ……………………………4分
(Ⅱ)证明:因为,,
所以平面平面
又因为平面,
所以 平面 …………………………8分
(Ⅲ)因为平面
同理平面,建立如图如示坐标系
设,
则,, ,, ……………………………9分
则,
设平面的法向量为,有 ,,
得 ……………………………11分
因为平面,所以平面平面
又,平面平面
所以平面
与交于点O,O则为AN的中点,O
所以平面的法向量 ……… ……………12分
所以 …………………13分
由图形可知二面角为钝角
所以二面角的余弦值为.…………………14分
19.(2013届北京朝阳区一模理科)(17)(本小题满分14分)
如图,在四棱锥中,平面平面,且, .四边形满足,,.点分别为侧棱上的点,且.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)当时,求异面直线与所成角的余弦值;
(Ⅲ)是否存在实数,使得平面平面?若存在,
试求出的值;若不存在,请说明理由.
证明:(Ⅰ)由已知,,
所以 .
因为,所以.
而平面,平面,
所以平面. ……………………………………………………4分
(Ⅱ)因为平面平面,
平面平面,且,
所以平面.
所以,.
又因为,
所以两两垂直. ……………………………………………………5分
如图所示,建立空间直角坐标系,
因为,,
所以
.
当时,为中点,
所以,
所以.
设异面直线与所成的角为,
所以,
所以异面直线与所成角的余弦值为.…………………………………9分
(Ⅲ)设,则.
由已知,所以,
所以 所以.
设平面的一个法向量为,因为,
所以 即
令,得.
设平面的一个法向量为,因为,
所以 即
令,则.
若平面平面,则,所以,解得.
所以当时,平面平面.…………………………………………14分
20.(2013届北京石景山区一模理科)17 .(本小题满分14分)
如图,在底面为直角梯形的四棱锥中,,平面,,,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求直线与平面所成的角;
(Ⅲ)设点在棱上,,若∥平面,求的值.
证明:(I)在直角梯形ABCD中,
所以,所以. …………2分
又因为,所以
由,所以
所以 …………4分
(II)如图,在平面ABCD内过D作直线DF//AB,交BC于F,分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
由条件知A(1,0,0),B(1,,0),
设,则, …………5分
由(I)知.
.
设,
则 …………7分
即直线为. …………8分
(III)由(2)知C(-3,,0),记P(0,0,a),则
,,,,
而,所以,
=
…………10分
设为平面PAB的法向量,则,即,即.
进而, …………12分
由,得
∴ …………14分
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