【解析分类汇编系列二:北京2013(一模)数学理】9圆锥曲线
1.(2013届北京石景山区一模理科)7.对于直线l:y=k (x+1)与抛物线C:y2= 4x,是直线l与抛物线C有唯一交点的( )条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要
【答案】A
联立方程组,消去y并整理得,,
当k=0时,上式变为,解得x=0,与C有唯一交点。当k≠0时,,解得。故与C有唯一交点的充要条件为k=0,或。所以是直线l与抛物线C有唯一交点充分不必要条件,选A。
2.(2013届北京朝阳区一模理科)(7)抛物线(>)的焦点为,已知点,为抛物线上的两个动点,且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为
A. B. 1 C. D. 2
【答案】A
设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF。由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab
配方得, ,又因为,所以,所以,所以,即的最大值为.选:A
3.(2013届北京大兴区一模理科)双曲线的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
双曲线的标准方程为,所以,且,因为,所以,,即,解得,选D.
4.(2013届北京海淀一模理科)抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点,又点,则的最小值是 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
因为抛物线的焦点,准线方程为。过P作准线的垂线交准线于E,则,所以,即,所以当为抛物线的切线时,最大。不妨设P在第一象限,设过A的直线斜率为,则直线的方程为,代入,整理得,由解得,所以,此时,所以点.所以,即则的最小值是. 选B.
5.(2013届北京市延庆县一模数学理)已知双曲线的离心率为,一个焦点与抛物线的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
抛物线的焦点坐标为,所以双曲线中。又,所以。所以双曲线飞渐近线方程为,选D.
6.(2013届东城区一模理科)已知,分别是双曲线:的两个焦点,双曲线和圆:的一个交点为,且,那么双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
因为圆的半径为,所以三角形为直角三角形,又,所以,所以。又,即,选D.
7.(2013届门头沟区一模理科)已知P是中心在原点,焦距为的双曲线上一点,且的取值范围为,则该双曲线方程是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
由题意知,所以。又的取值范围为,所以双曲线的渐近线效率,且焦点在轴上。即,所以,解得,所以双曲线的方程为,选C.
8.(2013届北京西城区一模理科)在直角坐标系中,点与点关于原点对称.点在抛物线上,且直线与的斜率之积等于,则______.
【答案】
由题意知,且,所以,所以,即,所以,解得。
9.(2013届房山区一模理科数学)已知双曲线的焦距为,且过点,则它的渐近线方程为 .
【答案】
由题意知,所以。又点在双曲线上,所以,即,所以。双曲线的渐近线方程为。
10.(2013届北京大兴区一模理科)已知动点P到点A(-2,0)与点B(2,0)的斜率之积为,点P的轨迹为曲线C。
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)若点Q为曲线C上的一点,直线AQ,BQ与直线x=4分别交于M、N两点,直线BM与椭圆的交点为D。求证,A、D、N三点共线。
【答案】(I)设P点坐标,则(),(),
由已知,化简得:.
所求曲线C的方程为()。
(II)由已知直线AQ的斜率存在,
且不等于0,设方程为,
由,消去得:
(1).
因为,是方程(1)的两个根,
所以,得,
又,所以。
当,得,即。
又直线BQ的斜率为,方程为,当时,得,即。
直线BM的斜率为,方程为。
由,消去得:
(2).
因为2,是方程(2)的两个根,所以
,
得,又,即。
由上述计算:,,。
因为,,所以。
所以A、D、N三点共线。
11.(2013届北京丰台区一模理科)已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C过P(2,),直线:y=kx+m(k≠0)交椭圆C于不同的两点A,B。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是否存在实数k,使线段AB的垂直平分线经过点Q(0,3)?若存在求出 k的取值范围;若不存在,请说明理由。
【答案】(Ⅰ)设椭圆C的方程为,由题意
,解得,,所以椭圆C的方程为. …………5分
(Ⅱ)假设存在斜率为k的直线,其垂直平分线经过点Q(0,3),
设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点为N(x0,y0),
由得, …………………6分
,所以,…7分
,
,, ……………8分
线段AB的垂直平分线过点Q(0,3),
,即,,…………10分
,
整理得,显然矛盾不存在满足题意的k的值。………13分
12.(2013届北京海淀一模理科)已知圆:().若椭圆:()的右顶点为圆的圆心,离心率为.
(I)求椭圆的方程;
(II)若存在直线:,使得直线与椭圆分别交于,两点,与圆分别交于,两点,点在线段上,且,求圆半径的取值范围.
【答案】(I)设椭圆的焦距为,
因为,,所以,所以.
所以椭圆:………………4分
(II)设(,),(,)
由直线与椭圆交于两点,,则
所以 ,则,………………6分
所以………………7分
点(,0)到直线的距离
则………………9分
显然,若点也在线段上,则由对称性可知,直线就是轴,矛盾,
所以要使,只要
所以
………………11分
当时,………………12分
当时,
又显然, 所以
综上,………………14分
13.(2013届北京市延庆县一模数学理)已知动点与一定点的距离和它到一定直线的距离之比为.
(Ⅰ) 求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)已知直线交轨迹于、两点,过点、分别作直线的垂线,垂足依次为点、.连接、,试探索当变化时,直线、是否相交于一定点?若交于定点,请求出点的坐标,并给予证明;否则说明理由.
【答案】(Ⅰ)由题意得,化简并整理,得 .
所以动点的轨迹的方程为椭圆. ………3分
(Ⅱ)当时,、,、
直线的方程为:,直线的方程为:,
方程联立解得,直线、相交于一点.
假设直线、相交于一定点. ………5分
证明:设,,则,,
由消去并整理得,显然,
由韦达定理得,. ………7分
因为,,
所以
………11分
所以,,所以、、三点共线, ………12分
同理可证、、三点共线,所以直线、相交于一定点.14分
14.(2013届北京西城区一模理科)如图,椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于,两点.当直线经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为.
(Ⅰ)求该椭圆的离心率;
(Ⅱ)设线段的中点为,的中垂线与轴和轴分别交于两点.记△的面积为,△(为原点)的面积为,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)解:依题意,当直线经过椭圆的顶点时,其倾斜角为. ……1分
设 ,
则 . ………………2分
将 代入 ,
解得 . ………………3分
所以椭圆的离心率为 . …………4分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ),椭圆的方程可设为. ……5分
设,.依题意,直线不能与轴垂直,故设直线的方程为,将其代入,整理得 .……………7分
则 ,,.8分
因为 ,所以 ,. ………9分
因为 △∽△,
所以 …11分
.……13分
所以的取值范围是. …………14分
15.(2013届东城区一模理科)已知椭圆的两个焦点分别为,,离心率为,过的直线与椭圆交于,两点,且△的周长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过原点的两条互相垂直的射线与椭圆分别交于,两点,证明:点到直线的距离为定值,并求出这个定值.
【答案】解:(I)由题意知,,所以.
因为
所以,
所以.
所以椭圆的方程为.
(II)由题意,当直线的斜率不存在,此时可设,.
又,两点在椭圆上,
所以,.
所以点到直线的距离.
当直线的斜率存在时,设直线的方程为.
由消去得
.
由已知.
设,.
所以,.
因为,
所以.
所以.
即.
所以.
整理得,满足.
所以点到直线的距离
为定值.
16.(2013届房山区一模理科数学)已知抛物线的焦点坐标为,过的直线交抛物线于两点,直线分别与直线:相交于两点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值.
【答案】(Ⅰ)由焦点坐标为 可知
所以
所以抛物线的方程为…………………………………4分
(Ⅱ)
当直线垂直于轴时,与相似,
所以 …………………………………….…6分
当直线与轴不垂直时,设直线AB方程为………………………7分
设,,,,
解 整理得 ,
所以 ……… ……………………………….9分
…………………….14分
综上
17.(2013届门头沟区一模理科)在平面直角坐标系中, 动点到直线的距离是到点的距离的倍.
(Ⅰ)求动点的轨迹方程;
(Ⅱ)设直线与(Ⅰ)中曲线交于点,与交于点,分别过点和作的垂线,垂足为,问:是否存在点使得的面积是面积的9倍?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)解:设点的坐标为.
由题意知 ……………………………3分
化简得
所以动点的轨迹方程为 ……………………………5分
(Ⅱ)设直线的方程为,点
因为∽,所以有,由已知得,
所以有(1) ……………………………7分
由,得,
(2),(3) ……………………………10分
由(1)(2)(3)得或
所以 存在点为 ……………………………13分
18.(2013届北京朝阳区一模理科)(19)(本小题满分14分)
已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆过点,离心率为,点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于两点,直线,与直线分别交于点,.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求的取值范围.
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为,
依题意得解得,.
所以椭圆的方程为. ………………………………………………4分
(Ⅱ)显然点.
(1)当直线的斜率不存在时,不妨设点在轴上方,易得,,所以. …………………………………………6分
(2)当直线的斜率存在时,由题意可设直线的方程为,显然时,不符合题意.
由得.
设,则.
直线,的方程分别为:,
令,则.
所以,. ……………………10分
所以
. ……………………………………………12分
因为,所以,所以,即.
综上所述,的取值范围是. ……………………………………14分
19.(2013届北京石景山区一模理科)19.(本小题满分14分)
设椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为,在轴负半轴上有一点,满足,且.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若过三点的圆与直线相切,求椭圆的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中垂线与轴相交于点,求实数的取值范围.
解:(Ⅰ)连接,因为,,所以,
即,故椭圆的离心率 ................3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知得于是,,
的外接圆圆心为),半径............4分
由已知圆心到直线的距离为,所以,解得
所求椭圆方程为. ................6分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知, 设直线的方程为:
消去得 . ....7分
因为过点,所以恒成立
设,
则,
中点 ...............9分 当时,为长轴,中点为原点,则 ..............10分
当时中垂线方程.
令, .........12分
,, 可得
综上可知实数的取值范围是. ..............14分
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