课时跟踪检测(二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．(2012·重庆高考)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
2．(2012·南昌二模)已知cos＝－，则cos x＋cos的值是( )
A．－ B．±
C．－1 D．±1
3．(2012·乌鲁木齐诊断性测验)已知α满足sin α＝，那么sinsin的值为( )
A. B．－
C. D．－
4．已知函数f(x)＝x3＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为4，则函数g(x)＝sin 2x＋bcos 2x的最大值和最小正周期为( )
A．1，π B．2，π
C.，2π D.，2π
5．(2012·东北三校联考)设α、β都是锐角，且cos α＝，sin＝，则cos β＝( )
A. B.[来源:Z#xx#k.Com][来源:Zxxk.Com]
C.或 D.或
6．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝( )
A．－ B．－
C. D.
7．(2012·苏锡常镇调研)满足sinsin x＋coscos x＝的锐角x＝________.
8．化简·＝________.
9．(2013·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cos α＝________.
10．已知α∈，tan α＝，求tan 2α和sin的值．
11．已知：0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin 2β的值；
(2)求cos的值．
12．(2012·衡阳模拟) 函数f(x)＝cos＋sin，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(α)＝，α∈，求tan的值．
1．若tan α＝lg(10a)，tan β＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为( )
A．1 B.
C．1或 D．1或10
2．化简sin2＋sin2－sin2α的结果是________．[来源:学§科§网Z§X§X§K]
3．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
[答 题 栏]
A级
1._________ 2._________ 3._________ 4._________ 5.__________ 6._________
B级[来源:学科网]
1.______ 2.______
7. __________ 8. __________ 9. __________
答 案
课时跟踪检测(二十一)
A级
1．选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，
tan(α＋β)＝＝－3.
2．选C cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos＝－1.
3．选A 依题意得，sinsin＝sin·cos＝sin＝cos 2α＝(1－2sin2α)＝.
4．选B 由题意得f′(x)＝3x2＋b，
f′(1)＝3＋b＝4，b＝1.
所以g(x)＝sin 2x＋bcos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
故函数的最大值为2，最小正周期为π.
5．选A 依题意得sin α＝＝，
cos(α＋β)＝±＝±.
又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，
cos α>cos(α＋β)，注意到>>－，
所以cos(α＋β)＝－.
cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.
6．选A 将sin α＋cos α＝两边平方，可得1＋sin 2α＝，sin 2α＝－，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－.
7．解析：由已知可得
coscos x＋sinsin x＝，
即cos＝，
又x是锐角，所以－x＝，即x＝.
答案：
8．解析：原式＝tan(90°－2α)·
＝·
＝·＝.
答案：
9．解析：依题设及三角函数的定义得：
cos β＝－，sin(α＋β)＝.
又∵0<β<π，∴<β<π，<α＋β<π，sin β＝，cos(α＋β)＝－.
∴cos α＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β
＝－×＋×
＝.
答案：
10．解：∵tan α＝，∴tan 2α＝＝＝，
且＝，即cos α＝2sin α，
又sin2α＋cos2α＝1，
∴5sin2α＝1，而α∈，
∴sin α＝，cos α＝.
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，
cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝，
∴sin＝sin 2αcos＋cos 2αsin＝×＋×＝.
11．解：(1)法一：∵cos＝coscos β＋sin β＝cos β＋sin β＝，
∴cos β＋sin β＝，∴1＋sin 2β＝，∴sin 2β＝－.
法二：sin 2β＝cos＝2cos2－1＝－.
(2)∵0<α<<β<π，
∴<β<－<π，<α＋β<，
∴sin>0，cos(α＋β)<0.
∵cos＝，sin(α＋β)＝，
∴sin＝，
cos(α＋β)＝－.
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)cos
＝－×＋×＝.
12．解：(1)f(x)＝cos＋sin＝sin＋cos＝sin，
故f(x)的最小正周期T＝＝4π.
(2)由f(α)＝，得sin＋cos＝，
则2＝2，
即1＋sin α＝，解得sin α＝，
又α∈，则cos α＝＝ ＝，
故tan α＝＝，
所以tan＝＝＝7.
B级
1．选C tan(α＋β)＝1?＝＝1?lg2a＋lg a＝0，
所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或.
2．解析：原式＝＋－sin2α
＝1－－sin2α
＝1－cos 2α·cos－sin2α＝1－－＝.
答案：
3．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，
即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝.
又2α∈，∴cos 2α＝＝，
∴tan 2α＝＝.
(2)∵β∈，β－∈，sin＝，
∴cos＝，
于是sin 2＝2sincos＝.
又sin 2＝－cos 2β，
∴cos 2β＝－，
又∵2β∈，∴sin 2β＝，
又∵cos2α＝＝，
∴cos α＝，sin α＝.
∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β
＝ ×－×＝－.
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