课时跟踪检测(二十二) 简单的三角恒等变换
1．在△ABC中，tan B＝－2，tan C＝，则A等于( )
A. B.
C. D.
2.·等于( )
A．－sin α B．－cos α
C．sin α D．cos α
3．(2013·深圳调研)已知直线l: xtan α－y－3tan β＝0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )
A．－ B.
C. D．1
4．(2012·山东高考)若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝( )
A. B.
C. D.
5．(2012·河北质检)计算的值为( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
6．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β等于( )
A. B.
C. D.
7．若tan＝3，则＝________.
8．若锐角α、β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝________.
9．计算：＝________.
10．已知函数f(x)＝sin x＋cos x，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域．
11．已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.
(1)求sin α的值；
(2)求β的值．
12．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)．
(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；
(2)求f(x)的解析式．
1．(2012·郑州质检)已知曲线y＝2sin·cos与直线y＝相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1，P2，P3，…，则|P1P5―→|等于( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
2.等于( )
A. B.
C．2 D.
3．(2012·江西重点高中模拟)已知函数f(x)＝sin＋sin＋cos 2x－m，若f(x)的最大值为1.
(1)求m的值，并求f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(B)＝－1，且a＝b＋c，试判断三角形的形状．
[答 题 栏]
A级
1._________ 2._________ 3._________ 4._________ 5._________ 6._________
B级[来源:学科网][来源:Z_xx_k.Com][来源:学&科&网]
1.______ 2.______ [来源:学,科,网Z,X,X,K][来源:学科网]
7. __________ 8. __________ 9. __________
答 案
课时跟踪检测(二十二)
A级
1．选A tan A＝tan[π－(B＋C)]
＝－tan(B＋C)＝－＝－
＝1.故A＝.
2．选D 原式＝
＝＝cos α.
3．选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1，
即tan β＝－，tan(α＋β)＝＝＝1.
4．选D 因为θ∈，所以2θ∈，
所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－＝－.
又cos 2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，
所以sin θ＝.
5．选D
＝
＝
＝
＝
＝＝1.
6．选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β
＝sin(α－β)＝，
又0<β<α<，∴0<α－β<，
故cos(α－β)＝＝，
而cos α＝，∴sin α＝，
于是sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
故β＝.
7．解析：∵tan＝＝3，
∴tan θ＝－.
∴＝
＝＝＝3.
答案：3
8．解析：由(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，
可得＝，即tan(α＋β)＝.
又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
答案：
9．解析：
＝
＝＝.
答案：
10．解：(1)由题意可知，f′(x)＝cos x－sin x＝－·sin，
所以y＝f′(x)的最小正周期为T＝2π.
(2)F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x
＝1＋sin 2x＋cos 2x
＝1＋sin.
∵x∈，∴2x＋∈，
∴sin∈.
∴函数F(x)的值域为[0,1＋ ]．
11．解：(1)∵tan＝，
∴tan α＝＝＝，
由
解得sin α＝.
(2)由(1)知cos α＝
＝ ＝，
又0<α<<β<π，∴β－α∈(0，π)，
而cos(β－α)＝，
∴sin(β－α)＝＝ ＝，
于是sin β＝sin[α＋(β－α)]
＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α)
＝×＋×＝.
又β∈，∴β＝.
12．解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，
得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，
∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.
∴tan(α＋β)＝2tan α.
(2)由(1)得＝2tan α，即＝2x，
∴y＝，即f(x)＝.
B级
1．选B 注意到y＝2sincos＝2sin2＝1－cos 2＝1＋sin 2x，又函数y＝1＋sin 2x的最小正周期是＝π，结合函数y＝1＋sin 2x的图象(如图所示)可知，|P1P5―→|＝2π.
2．选C ＝
＝＝＝2.
3．解：(1)f(x)＝2sin 2x·cos＋cos 2x－m＝sin 2x＋cos 2x－m＝2sin－m.
又f(x)max＝2－m，所以2－m＝1，得m＝1.
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)
得到kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由f(B)＝－1，得2sin－1＝－1，
所以B＝.
又a＝b＋c，则sin A＝sin B＋sin C，
sin A＝＋sin，即sin＝，
所以A＝，C＝，故△ABC为直角三角形．
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