课时跟踪检测(三十八) 合情推理与演绎推理
1.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的小前提是( )
A.① B.②
C.③ D.①和②
2.(2012·合肥模拟)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理( )
A.结论正确 B.大前提不正确
C.小前提不正确 D.全不正确
3.(2012·泰兴模拟)在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则=,推广到空间可以得到类似结论;已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则=( )
A. B.
C. D.
4.(2012·德州模拟)给出下面类比推理(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):
①“若a,b∈R,则a-b=0?a=b”类比推出“a,c∈C,则a-c=0?a=c”;
②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di?a=c,b=d”类比推出“a,b,c,d∈Q,则a+b=c+d?a=c,b=d ”;
③“a,b∈R,则a-b>0?a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0?a>b”;
④“若x∈R,则|x|<1?-1<x<1”类比推出“若z∈C,则|z|<1?-1<z<1”.
其中类比结论正确的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.观察如图所示的正方形图案,每条边(包括两个端点)有n(n≥2,n∈N*)个圆点,第n个图案中圆点的总数是Sn.按此规律推断出Sn与n的关系式为( )
A.Sn=2n B.Sn=4n
C.Sn=2n D.Sn=4n-4
6.(2012·武汉市适应性训练)下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
A.设数列{an}的前n项和为Sn.由an=2n-1,求出S1=12,S2=22,S3=32,…,推断:Sn=n2
B.由f(x)=xcos x满足f(-x)=-f(x)对? x∈R都成立,推断:f(x)=xcos x为奇函数
C.由圆x2+y2=r2的面积S=πr2,推断:椭圆+=1(a>b>0)的面积S=πab
D.由(1+1)2>21,(2+1)2>22,(3+1)2>23,…,推断:对一切n∈N*,(n+1)2>2n
7.(2013·杭州模拟)设n为正整数,f(n)=1+++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为________.
8.(2011·陕西高考)观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律,第n个等式为________.
9.(2012·杭州模拟)在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有:c2=a2+b2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN,如果用S1,S2,S3表示三个侧面面积,S4表示截面面积,那么类比得到的结论是________.
10.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质,例如在三角形中:(1)三角形两边之和大于第三边;(2)三角形的面积S=×底×高;(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的;……
请类比上述性质,写出空间中四面体的相关结论.
11.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5.
(1)求a18的值;
(2)求该数列的前n项和Sn.
12.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.
(1)求出f(5)的值;
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式;
(3)求+++…+的值.
1.(2012·江西高考)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( )
A.28 B.76
C.123 D.199
2.对于命题:若O是线段AB上一点,则有||·+||·=0.
将它类比到平面的情形是:
若O是△ABC内一点,则有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0,将它类比到空间情形应该是:若O是四面体ABCD内一点,则有________.
3.(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
(1)sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;
(2)sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;
(3)sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;
(4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°;
(5)sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
[答 题 栏]
A级
1._________ 2._________ 3._________ 4._________ 5._________ 6._________
B级
1._____ _ 2.______
7. __________ 8. __________ 9. __________
答 案
课时跟踪检测(三十八)
A级
1.B 2.C 3.D 4.B
5.选D 由n=2,n=3,n=4的图案,推断第n个图案是这样构成的:各个圆点排成正方形的四条边,每条边上有n个圆点,则圆点的个数为Sn=4n-4.
6.选A 选项A由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{an}是等差数列,其前n项和等于Sn==n2,选项D中的推理属于归纳推理,但结论不正确.因此选A.
7.解析:由前四个式子可得,第n个不等式的左边应当为f(2n),右边应当为,即可得一般的结论为f(2n)≥.
答案:f(2n)≥
8.解析:每行最左侧数分别为1、2、3、…,所以第n行最左侧的数为n;每行数的个数分别为1、3、5、…,则第n行的个数为2n-1.所以第n行数依次是n、n+1、n+2、…、3n-2.其和为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.
答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2
9.解析:将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为直角三角形的斜边,可得S+S+S=S.
答案:S+S+S=S
10.解:由三角形的性质,可类比得空间四面体的相关性质为:
(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积;
(2)四面体的体积V=×底面积×高;
(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.
11.解:(1)由等和数列的定义,数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,易知a2n-1=2,a2n=3(n=1,2…),故a18=3.
(2)当n为偶数时,
Sn=a1+a2+…+an=(a1+a3+…+an-1)+(a2+a4+…+an)
=2+2+…++3+3+…+=n;
当n为奇数时,
Sn=Sn-1+an=(n-1)+2=n-.
综上所述:Sn=
12.解:(1)f(5)=41.
(2)因为f(2)-f(1)=4=4×1,
f(3)-f(2)=8=4×2,
f(4)-f(3)=12=4×3,
f(5)-f(4)=16=4×4,
…
由上式规律,所以得出f(n+1)-f(n)=4n.
因为f(n+1)-f(n)=4n,
所以f(n+1)=f(n)+4n,
f(n)=f(n-1)+4(n-1)
=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)
=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)
=…
=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4
=2n2-2n+1.
(3)当n≥2时,
==(-),
∴+++…+
=1+1-+-+-+…+-=1+
=-.
B级
1.选C 记an+bn=f(n),则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.所以a10+b10=123.
2.解析:将平面中的相关结论类比到空间,通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积,因此依题意可知若O为四面体ABCD内一点,则有VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·OD―→=0.
答案:VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·OD―→=0
3.解:法一:(1)选择(2)式,计算如下:
sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°
=1-sin 30°=1-=.
(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)=.
证明如下:
法一:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)
=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°·cos α+sin 30°sin α)
=sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcos α-sin2α=sin2α+cos2α
=.
法二:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)
=+-sin α·(cos 30°cos α+sin 30°sin α)
=-cos 2α++(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)-sin αcos α-sin2α
=-cos 2α++cos 2α+sin 2α-sin 2α-(1-cos 2α)
=1-cos 2α-+cos 2α=.
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