巩固双基,提升能力
一、选择题
1．(2013·昆明检测)已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为( )
A. B.
C. D.
解析：由tanα＝＝＝，故角α的最小正值为，选C.
答案：C
2．(2013·福州质检)下列三角函数值的符号判断错误的是( )
A．sin165°＞0 B．cos280°＞0
C．tan170°＞0 D．tan310°＜0
解析：165°是第二象限角，因此sin165°＞0正确；280°是第四象限角，因此cos280°＞0正确；170°是第二象限角，因此tan170°＜0，故C错误；310°是第四象限角，因此tan310°＜0正确．
答案：C
3．设θ是第三象限角，且＝－cos，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：由于θ是第三象限角，所以2kπ＋π＜θ＜2kπ＋(k∈Z)，kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z)；又|cos|＝－cos，所以cos≤0，从而2kπ＋≤≤2kπ＋，(k∈Z)，综上可知2kπ＋＜＜2kπ＋，(k∈Z)，即是第二象限角．
答案：B
4．已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( )
A．2 B．1 C. D．3
解析：设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，则面积S＝rl＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，∴当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2，从而α＝＝＝2.
答案：A
5．若一个α角的终边上有一点P(－4，a)且sinα·cosα＝，则a的值为( )
A．4 B．±4
C．－4或－ D.
解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P(－4，a)在其终边上且sinα·cosα＝，易得tanα＝或，则a＝－4或－.
答案：C
6．(2013·海口调研)已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是( )
A. B.
C. D.∪
解析：由已知得解得α∈∪.
答案：D
二、填空题
7．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在第__________象限．
解析：由题意知，tanα＜0，cosα＜0，所以α是第二象限角．
答案：二
8．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为__________．
解析：根据题意得Q，即Q.
答案：
9．已知角α的终边在直线y＝－x上，则2sinα＋cosα＝_______.
解析：由题意知tanα＝－，∴α在第二象限或第四象限，故sinα＝，cosα＝－或sinα＝－，cosα＝，
∴2sinα＋cosα＝或－.
答案：或－
三、解答题
10．已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．
解析：∵P(x，－)(x≠0)，
∴P到原点的距离r＝.
又cosα＝x，∴cosα＝＝x，
∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.
当x＝时，P点坐标为(，－)，
由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－.
当x＝－时，P点坐标为(－，－)，
∴sinα＝－，tanα＝.
11．已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，
(1)求的弧长；
(2)求弓形OAB的面积．
解析：(1)∵α＝120°＝，r＝6，
∴的弧长为l＝×6＝4π.
(2)∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，
S△ABO＝r2·sin＝×62×＝9，
∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－9.
12.已知A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限．C是圆O与轴正半轴的交点，△AOB为正三角形．记∠AOC＝α.
(1)若A点的坐标为，求的值；
(2)求|BC|2的取值范围．
解析：(1)∵A点坐标为，
∴tanα＝.
∴＝
＝
＝
＝＝20.
(2)设A点的坐标为(x，y)，
∵△AOB为正三角形，
∴B点坐标为，且C(1,0)．
∴|BC|2＝2＋sin2
＝2－2cos.
而A、B分别在第一、二象限，∴α∈.
∴α＋∈.
∴cos∈.
∴|BC|2的取值范围是(2,2＋)．
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