课时提能演练(二十五)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.下列命题中是真命题的是( )
①对任意两向量a、b均有：|a|-|b|<|a|+|b|
②对任意两向量a、b,a-b与b-a是相反向量
③在△ABC中，
④在四边形ABCD中，
⑤
(A)①②③ (B)②④⑤
(C)②③④ (D)②③
2.平面向量,共线的充要条件是( )
(A) ,方向相同
(B) ,两向量中至少有一个为零向量
(C)λ∈R，=λ
(D)存在不全为零的实数λ1,λ2,
3. 3.(2012?益阳模拟)已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包含端点A、C)，则等于( )
(A),λ∈(0,1) (B),λ∈(0,)
(C),λ∈(0,1) (D),λ∈(0, )
4.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则=( )
(A)8 (B)4 (C)2 (D)1
5.(2012·洛阳模拟)若O是A，B，P三点所在直线外一点且满足条件：其中{an}为等差数列，则a2 011等于( )
(A)-1 (B)1 (C) (D)
6.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足λ∈［0,+∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
(A)重心 (B)垂心 (C)内心 (D)外心
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012?邵阳模拟)向量a，b满足：｜a|=2,|b|=2,|a-b|=2,则｜a+b|= _______.
8.(预测题)M、N分别在△ABC的边AB，AC上，且BN与CM交于点P，设 (x,y∈R),则x+y=______.
9.(2012·承德模拟)如图所示， O在线段CD上，且O不与端点C、D重合，若则实数m的取值范围为______.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.如图所示，O为△ABC内一点，若有试求△ABC与△OBC的面积之比.
11.如图，已知表示以下向量.
【探究创新】
(16分)如图，点A1、A2是线段AB的三等分点，
(1)求证：
(2)一般地，如果点A1,A2,…An-1是AB的n(n≥3)等分点，请写出一个结论，使(1)为所写结论的一个特例.并证明你写的结论.
答案解析
1. 【解析】选D.①假命题.∵当∴该命题不成立.
②真命题.这是因为
∴是相反向量.
③真命题.∵
∴命题成立.
④假命题.∵
∴该命题不成立.
⑤假命题.∵
∴该命题不成立.
【变式备选】在以下各命题中，假命题的个数为( )
①||=||是=的必要不充分条件
②任一非零向量的方向都是唯一的
③“∥”是“=”的充分不必要条件
④若||-||=||+||,则=
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】选A.∵、方向不同?≠；
∴仅有||=||=;
但反过来，有=?||=||.
故命题①是正确的.
命题②正确.
∵∥=,而=?∥，故③不正确.
∵||-||=||+||
∴-||=||,
∴2||=0,∴||=0,即=，故命题④正确.
综上所述，4个命题中，只有③是错误的，故选A.
2.【解题指南】零向量的方向是任意的，且零向量和任意向量共线，可以通过举反例判断错误选项来得出答案.
【解析】选D.方法一(筛选法)：零向量的方向是任意的且零向量和任意向量共线，故A错误；两共线的向量可以均为非零向量，故B错误；当为零向量，不是零向量时，λ不存在，C错误，故选D.
方法二(直接法)：若,均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数λ1,λ2，使得λ1+λ2=;若≠，则由两向量共线知，存在λ≠0,使得=λ,即λ-=,符合题意，故选D.
【误区警示】考虑一般情况而忽视了特殊情况而致误，在解决很多问题时考虑问题必须要全面，除了考虑一般情况外，还要注意特殊情况是否成立.
3. 【解析】选A.,
又P在AC上，∴.
4.【解析】选C.因为
5.【解析】选D.因为A，B，P三点共线，且
6.【解题指南】
【解析】选A.由题意得，则AD与BC互相平分，又即P点在直线AD上，而AD在BC边的中线上，所以P点的轨迹必经过△ABC的重心.
7.【解析】如图在□ABCD中，
设＝a，=b，
则＝a-b,=a+b.
∵|a|=|b|=|a-b|=2，
∴△ABD为正三角形，
∴ ABCD为菱形，
∴.
答案：
8.【解析】如图，设
则在△ABP中，
在△ACP中，
由平面向量基本定理得
答案:
【变式备选】如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若则m+n的值为_______.
【解题指南】可以由M、N的特殊位置求m、n的值.
【解析】由MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m=1,n=1,故m+n=2.
答案：2
9.【解析】设
∵k∈(0,),∴m∈(-,0).
答案：(-，0)
10.【解析】设BC的中点为点D，则
∴
∴
∴A、O、D三点共线，且
∴作AE⊥BC，OF⊥BC,垂足分别为E、F，则
∴
【方法技巧】向量在平面几何中的应用技巧
平面向量的知识在解决平面几何中的问题时应用非常广泛：利用共线向量定理，可以证明点共线，两直线平行，并进而判定一些特殊图形；利用向量的模，可以说明线段间的长度关系，并进而求解图形的面积.在后续内容中，向量的应用将更广泛.要注意图形中的线段、向量是如何相互转化的.
11.【解题指南】本题可利用向量的加法、减法法则并结合图形得以解答.
【解析】(1)
【探究创新】
【解题指南】(1)把向量都用向量表示；(2)解题思路同(1)，答案不唯一.
【解析】(1)∵
则
(2)一般结论为
注：也可以将结论推广为证明类似，证明略.
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