课时提能演练(二十四) (45分钟 100分) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.下列命题中是真命题的是(　　) ①对任意两向量a、b，均有：|a|－|b|<|a|＋|b| ②对任意两向量a、b，a－b与b－a是相反向量 ③在△ABC中，
＋
－
＝0 ④在四边形ABCD中，(
＋
)－(
＋
)＝0 ⑤
－
＝
(A)①②③　　　　　 　(B)②④⑤ (C)②③④ (D)②③ 2.(易错题)已知a、b是两个非零向量，给定命题p：|a＋b|＝|a|＋|b|，命题q：存在t∈R，使得a＝tb.则p是q的(　　) (A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 3.若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　) (A)
＝
＋
(B)
＝
－
(C)
＝－
＋
(D)
＝－
－
4.(2012·中山模拟)图中的小网格由等大的小正方形拼成，则向量a－b＝(　　) (A)e1＋3e2 (B)－e1－3e2 (C)e1－3e2 (D)－e1＋3e2 5.平面上点P与不共线的三点A、B、C满足关系：
＋
＋
＝
，则下列结论正确的是(　　) (A)P在CA上，且
＝2
(B)P在AB上，且
＝2
(C)P在BC上，且
＝2
(D)P点为△ABC的重心 6.△ABC中，向量
＋
所在直线(　　) (A)垂直于BC (B)平分BC边 (C)过△ABC的内心 (D)过△ABC的外心 二、填空题(每小题6分，共18分) 7.若|
|＝8，|
|＝5，则|
|的取值范围是　　　　　　　. 8.(2012·宿州模拟)如图，在三角形ABC中，D，E分别为BC，AC的中点，F为AB上的点，且
＝4
.若
＝x
＋y
，则实数x＝　　　，实数y＝　　　.
9.(2012·金华模拟)如图所示，
＝3
，O在线段CD上，且O不与端点C、D重合，若
＝m
＋(1－m)
，则实数m的取值范围为　　　　. 三、解答题(每小题15分，共30分) 10.如图所示，O为△ABC内一点，若有4
＋
＋
＝0，试求△ABC与△OBC的面积之比.
11.如图，已知
＝a，
＝b，
＝c，
＝d，
＝f，试用a、b、c、d、f表示以下向量. (1)
；(2)
；(3)
－
；(4)
＋
；(5)
－
.
【探究创新】 (16分)如图，点A1、A2是线段AB的三等分点，(1)求证：
＋
＝
＋
； (2)一般地，如果点A1，A2，…An－1是AB的n(n≥3)等分点，请写出一个结论，使(1)为所写结论的一个特例，并证明你写的结论. 答案解析 1.【解析】选D.①假命题.∵当b＝0时，|a|－|b|＝|a|＋|b|.∴该命题不成立. ②真命题.这是因为 (a－b)＋(b－a)＝a＋(－b)＋b＋(－a)＝a＋(－a)＋b＋(－b)＝(a－a)＋(b－b)＝0， ∴a－b与b－a是相反向量. ③真命题.∵
＋
－
＝
－
＝0， ∴命题成立. ④假命题.∵
＋
＝
，
＋
＝
， ∴(
＋
)－(
＋
) ＝
－
＝
＋
≠0， ∴该命题不成立. ⑤假命题.∵
－
＝
＋
＝
≠
， ∴该命题不成立. 【变式备选】在以下各命题中，假命题的个数为(　　) ①“|a|＝|b|”是“a＝b”的必要不充分条件 ②任一非零向量的方向都是唯一的 ③“a∥b”是“a＝b”的充分不必要条件 ④若|a|－|b|＝|a|＋|b|，则b＝0 (A)1　　　　(B)2　　　　(C)3　　　　(D)4 【解析】选A.∵a、b方向不同
a≠b； ∴仅有|a|＝|b|
a＝b； 但反过来，有a＝b
|a|＝|b|. 故命题①是正确的. 命题②正确. ∵a∥b
a＝b，而a＝b
a∥b，故③不正确. ∵|a|－|b|＝|a|＋|b|，∴－|b|＝|b|， ∴2|b|＝0，∴|b|＝0，即b＝0，故命题④正确. 综上所述，4个命题中，只有③是错误的，故选A. 2.【解析】选A.命题p等价于a、b同向，所以p
q，但q推不出p，故选A. 3.【解析】选B.由向量的减法知
＝
－
. 4.【解析】选C.a＝2.5e1＋1.5e2，b＝1.5e1＋4.5e2，a－b＝2.5e1＋1.5e2－(1.5e1＋4.5e2)＝e1－3e2，故选C. 5.【解题指南】化
为
－
再运算即可. 【解析】选A.
＋
＋
＝


＋
＝
－


＋
＝


＝2


∥

P在CA上. 6.【解题指南】
是与向量
同向的单位向量. 【解析】选C.∵
与
都是单位向量，由向量加法的平行四边形法则知
＋
是一菱形的对角线的对应向量，必平分∠BAC. ∴
＋
所在直线必过△ABC的内心. 7.【解析】∵
＝
－
，当
、
同向时，|
|＝8－5＝3，当
、
反向时，|
|＝8＋5＝13，当
、
不共线时，3<|
|<13，综上可知3≤|
|≤13. 答案：[3,13] 8.【解析】∵D，E分别为BC，AC的中点，
＝4
， ∴
＝(
＋
)＝(4
＋2
) ＝2
＋
. 又∵
＝x
＋y
，∴x＝2，y＝1. 答案：2　1 【变式备选】如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若
＝m
，
＝n
，则m＋n的值为　　　　　. 【解题指南】可以由M、N的特殊位置求m、n的值. 【解析】由MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m＝1，n＝1，故m＋n＝2. 答案：2 9.【解析】设
＝k
，则k∈(0，)， ∴
＝
＋
＝
＋k
＝
＋k(
－
) ＝(1＋k)
－k
. 又
＝m
＋(1－m)
，∴m＝－k ∵k∈(0，)，∴m∈(－，0). 答案：(－，0) 10.【解析】设BC的中点为点D，则
＋
＝2
， ∴4
＋2
＝0， ∴
＝－
， ∴A、O、D三点共线， 且|
|＝3|
|， ∴|
|＝|
|.作AE⊥BC，OF⊥BC，垂足分别为E、F，则|
|＝|
|， ∴＝
＝. 【方法技巧】向量在平面几何中的应用技巧 平面向量的知识在解决平面几何中的问题时应用非常广泛：利用向量共线判定定理，可以证明点共线，两直线平行，并进而判定一些特殊图形；利用向量的模，可以说明线段间的长度关系，并进而求解图形的面积.在后续内容中，向量的应用将更广泛.要注意图形中的线段、向量是如何相互转化的. 11.【解题指南】本题可利用向量的加法、减法法则并结合图形得以解答. 【解析】(1)
＝
－
＝c－a (2)
＝
＋
＝－
＋
＝－a＋d (3)
－
＝
＝
－
＝d－b (4)
＋
＝
－
－
＋
＝b－a－c＋f (5)
－
＝
＝
＋
＝－d＋f 【探究创新】 【解题指南】(1)把向量
，
都用向量
，
表示；(2)解题思路同(1)，答案不唯一. 【解析】(1)∵
＝
， ∴
＝
＋
＝
＋
＝
＋(
－
)＝
， 同理
＝
， 则
＋
＝
＋
＝
＋
. (2)一般结论为
＋
＝
＋
＝…＝
＋
证明：∵
＝
， ∴
＝
＋
＝
＋
， 而
＝
＋
＝
＋
＝
＋
－
＝
－
∴
＋
＝
＋
＋
－
＝
＋
. 注：也可以将结论推广为
＋
＋…＋
＝(
＋
)，证明类似，证明略.

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