课时提能演练 (二十五)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.已知平面内任一点O满足＝x＋y(x，y∈R)，则“x＋y＝1”是“点P在直线AB上”的( )
(A)必要但不充分条件 (B)充分但不必要条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
2.若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝( )
(A)3a＋b (B)3a－b
(C)－a＋3b (D)a＋3b
3.已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，若＝，则点D的坐标为( )
(A)(－4,2) (B)(－4，－2)
(C)(4,2) (D)(4，－2)
4.(2012·滁州模拟)已知A(2，－2)，B(4,3)，向量p的坐标为(2k－1,7)且p∥，则k的值为( )
(A)－ (B) (C)－ (D)
5.(2012·福州模拟)已知a1，a2均为单位向量，那么a1＝(，)是a1＋a2＝(，1)的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件
6.(预测题)已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＋＋＝0，则等于( )
(A) (B) (C)1 (D)2
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·蚌埠模拟)若a＝(1,2)，b＝(cosα，sinα)，且a∥b，则tan(α＋)＝ .
8.(易错题)已知直角坐标平面内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使得平面内任何一个向量c都可以唯一表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是 .
9.若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于y轴，a＝(2，－1)，则b＝ .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·芜湖模拟)若向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，k，t为正实数.且x＝a＋(t2＋1)b，y＝－a＋b.
(1)若x⊥y，求k的最大值；
(2)是否存在k，t，使x∥y？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.
11.已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t.
(1)求点P在第二象限时，实数t的取值范围；
(2)四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出相应的实数t；若不能，请说明理由.
【探究创新】
(16分)已知向量u＝(x，y)，v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)来表示.
(1)证明对于任意向量a，b及常数m，n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立；
(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标.
答案解析
1.【解析】选C.根据平面向量基本定理知：＝x＋y(x，y∈R)且x＋y＝1P在直线AB上.
2.【解题指南】解本题可以用待定系数法，设c＝ma＋nb，利用向量相等列出关于m，n的方程组.也可用验证法，把选项逐一代入验证.
【解析】选B.设c＝ma＋nb，则(4,2)＝(m－n，m＋n).
∴，∴c＝3a－b.
【一题多解】选B.对于A，3a＋b＝3(1,1)＋(－1，1)＝(2,4)≠c，故A不正确；同理选项C、D也不正确；对于B，3a－b＝(4,2)＝c，故B正确.
3.【解析】选A.∵＝(－2,1)，设D(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，由＝得，，∴.故D(－4,2).
4.【解析】选D.∵A(2，－2)，B(4,3)，∴＝(2,5).
又∵p＝(2k－1,7)，p∥，
∴2×7＝5(2k－1)，即14＝10k－5，∴k＝.
5.【解析】选B.∵a1，a2均为单位向量，a1＝(，)，当a2＝(，－)时，得不到a1＋a2＝(，1).由题意设a1＝(cosα，sinα)，a2＝(cosβ，sinβ)，∵a1＋a2＝(，1)，
∴ (－cosα)2＋(1－
sinα)2＝1，整理得sin(α＋)＝1，∴α＋＝2kπ＋(k∈Z)，∴cosα＝，sinα＝，∴a1＝(，)，∴由a1＋a2＝(，1)可得a1＝(，)，故选B.
6.【解题指南】由D为BC的中点可得＋＝2，进而得出＝2.
【解析】选C.由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知＋＝2，因此结合＋＋＝0即得＝2，因此易得P，A，D三点共线且D是PA的中点，所以＝1.
【方法技巧】利用基底表示向量的方法技巧
在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
7.【解析】∵a∥b，∴sinα＝2cosα，
∴tanα＝2，tan(α＋)＝
＝＝－3.
答案：－3
8.【解析】由平面向量基本定理可得：
b≠0 ①
且a与b不共线，即1·(2m－3)－3m≠0 ②
由①、②可得：m≠－3，
∴m的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，＋∞).
答案：(－∞，－3)∪(－3，＋∞)
9.【解析】设b＝(x，y)，则a＋b＝(x＋2，y－1)，由题意得∴.
所以b＝(－2,0)或(－2,2).
答案：(－2,0)或(－2,2)
10.【解析】由已知可得x＝(1,2)＋(t2＋1)(－2,1)＝(－2t2－1，t2＋3)，
y＝－(1,2)＋(－2,1)＝(－－，－＋).
(1)若x⊥y，则x·y＝0，
即(－2t2－1)(－－)＋(t2＋3)(－＋)＝0，
整理得＝t＋≥2，
当且仅当t＝，即t＝1时“＝”成立，故0
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