课时提能演练(二十六) (45分钟 100分) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.已知a，b均为单位向量，它们的夹角为，那么|a＋3b|＝(　　) (A)　　 　(B)　 　　(C) 　　　(D)4 2.(2012·广州模拟)已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量
＝(1,1)，n＝(1，－1)，且n·
＝2，则n·
等于(　　) (A)－2 (B)2 (C)0 (D)2或－2 3.(2012·西安模拟)在边长为1的正六边形A1A2A3A4A5A6中，
的值为(　　) (A)－　　　　 (B) (C)－ (D) 4.△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足
＝2
，则
·
＝(　　) (A)18 (B)3 (C)15 (D)12 5.已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b与向量c的夹角θ的值为(　　) (A)30° (B)60° (C)120° (D)150° 6.已知两个单位向量a与b的夹角为135°，则|a＋λb|>1的充要条件是(　　) (A)λ∈(0，) (B)λ∈(－，0) (C)λ∈(－∞，－)∪(，＋∞) (D)λ∈(－∞，0)∪(，＋∞) 二、填空题(每小题6分，共18分) 7.(2012·杭州模拟)已知向量|a|＝3，b＝(1,2)且a⊥b，则a的坐标是　　　　. 8.(2011·上海高考)在正三角形ABC中，D是BC上的点.若AB＝3，BD＝1，则
＝　　　　. 9.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，则
·
＋
·
＝　　　　. 三、解答题(每小题15分，共30分) 10.(易错题)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围. 11.(2012·宝鸡模拟)已知a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，f(x)＝2a·b＋2m－1(x，m∈R). (1)求f(x)关于x的表达式，并求f(x)的最小正周期； (2)若x∈[0，]时，f(x)的最小值为5，求m的值. 【探究创新】 (16分)已知向量a＝(1,2)，b＝(cosα，sinα)，设m＝a＋tb(t为实数). (1)若α＝，求当|m|取最小值时实数t的值； (2)若a⊥b，问：是否存在实数t，使得向量a－b和向量m的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由. 答案解析 1.【解析】选C.因为|a＋3b|2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×1×1×cos＋9＝13，所以|a＋3b|＝. 2.【解析】选B.n·
＝n·(
－
) ＝n·
－n·
＝2－(1，－1)·(1,1)＝2－0＝2. 3.【解析】选A.由已知得
＝＝，且∠A1A3A5＝60°， ∴
＝××cos(180°－60°)＝－. 【变式备选】已知a＝(x，x)，b＝(x，t＋2)，若函数f(x)＝a·b在区间[－1,1]上不是单调函数，则实数t的取值范围是(　　) (A)(－∞，－4] 　　　(B)(－4,0] (C)(－4,0) 　　　 (D)(0，＋∞) 【解析】选C.∵f(x)＝a·b＝x2＋(t＋2)x， ∴f′(x)＝2x＋(t＋2)，令f′(x)＝0得x＝－， 又f(x)在[－1,1]上不单调， ∴－1<－<1，即－41
a2＋2λa·b＋λ2b2>1
1－λ＋λ2>1
λ2－ λ>0
λ<0或λ>，故选D. 【变式备选】已知三点A(2,2)，B(2,1)，P(1,1)，若|
－t
|≤，则实数t的取值范围为　　　　. 【解析】∵
＝(2,2)－(1,1)＝(1,1)，
＝(1,0)， ∴
－t
＝(1,1)－t(1,0)＝(1－t,1)， ∴|
－t
|＝≤， ∴(t－1)2＋1≤5，∴－1≤t≤3. 答案：[－1,3] 7.【解析】设向量a＝(x，y)， 则， ∴或， ∴a的坐标是(，－)或(－，). 答案：(，－)或(－，) 8.【解析】∵

∴
·(
＋
) ＝
＋
＝×9＋×3×3×cos60°＝. 答案： 9.【解析】方法一：如图，由△ABD为正三角形，|
|＝2，知|
|＝2， ∴
·
＋
·
＝|
||
|cos120°＋|
||
|cos150° ＝2×2×(－)＋2×2×(－)＝－8. 方法二：如图，得
·
＋
·
＝
·(
－
)－
·(
＋
) ＝
·
－
2－
2－
·
＝－2
2＝－8. 答案：－8 10.【解题指南】a与a＋λb的夹角为锐角
a·( a＋λb)>0且a与a＋λb不共线. 【解析】∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a·(a＋λb)>0， 即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0， ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0，∴λ>－， 当a与a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma， 即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，∴，∴λ＝0， 即当λ＝0时，a与a＋λb共线， 综上可知，λ>－且λ≠0. 【误区警示】探究向量的夹角时首先要共起点，其次范围是[0，π]，a·b>0
夹角为[0，)，而本题中锐角为(0，)，不含0，故需注意讨论a与a＋λb共线时是否为同向. 11.【解析】(1)f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＋2m－1 ＝sin2x＋cos2x＋2m ＝2sin(2x＋)＋2m. ∴f(x)的最小正周期是π. (2)∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]. ∴当2x＋＝即x＝时，函数f(x)取得最小值2m－1， 则2m－1＝5， ∴m＝3. 【方法技巧】平面向量的数量积运算问题的解题技巧 (1)平面向量的数量积运算有时类似于多项式的乘法； (2)熟记公式a·b＝|a||b|cosθ及a·a＝a2＝|a|2，易将向量问题转化为实数问题. 【变式备选】△ABC中，满足：
⊥
，M是BC的中点. (1)若|
|＝|
|，求向量
＋2
与向量2
＋
的夹角的余弦值； (2)若O是线段AM上任意一点，且|
|＝|
|＝，求
·
＋
·
的最小值. 【解析】(1)设向量
＋2
与向量2
＋
的夹角为θ，|
|＝|
|＝a， ∵
⊥
，|
|＝|
|， ∴(
＋2
)·(2
＋
)＝2
2＋5
·
＋2
2＝4a2， |
＋2
|＝
＝
＝a， 同理可得|2
＋
|＝a， ∴cosθ＝
＝＝. (2)∵|
|＝|
|＝，∴|
|＝1. 设|
|＝x，则|
|＝1－x，而
＋
＝2
， ∴
·(
＋
)＝2
·
＝2|
||
|cosπ ＝－2x(1－x)＝2x2－2x＝2(x－)2－， 当且仅当x＝时，
·(
＋
)值最小，为－. 【探究创新】 【解题指南】(1)把|m|整理成关于t的函数即可. (2)由cos＝
，列出关于t的方程，若方程有实数解，则t存在，否则t不存在. 【解析】(1)因为α＝，b＝(，)，a·b＝，则|m|＝
＝
＝＝，所以当t＝－时， |m|取到最小值，最小值为. (2)假设存在实数t满足条件，由条件得cos＝
， 又因为|a－b|＝
＝， |a＋tb|＝
＝， (a－b)·(a＋tb)＝5－t， 则有＝，且t<5， 整理得t2＋5t－5＝0， 所以存在t＝满足条件.

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