巩固双基,提升能力
一、选择题
1．(2012·浙江)把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )
A.
B.
C.
D.
解析：把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y＝cos2＋1＝cosx＋1的图像；然后向左平移1个单位长度得到函数y＝cos(x＋1)＋1的图像；再向下平移1个单位长度得到函数y＝cos(x＋1)＋1－1＝cos(x＋1)的图像；结合各选项中的图像可知其图像为选项A中的图像，故应选A.
答案：A
2．(2013·信阳调研)先将函数f(x)＝2sin的周期变为原来的2倍，再将所得函数的图像向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为( )
A．f(x)＝2sinx B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin4x D．f (x)＝2sin
解析：f(x)＝2sin的周期变为原来的2倍，得到f(x)＝2sin，再向右平移个单位，得到f(x)＝2sin.
答案：B
3．(2013·潍坊三县检测)已知简谐振动f(x)＝Asin(ωx＋φ)的振幅为，图像上相邻最高点与最低点之间的距离为5，且过点，则该简谐振动的频率与初相分别为( )
A.， B.，
C.， D.，
解析：由题意知A＝，∵图像上相邻最高点与最低点之间的距离为5，∴＝5，解得T＝8，∴f＝，ω＝，由图像过点且|φ|＜，得φ＝，故选B.
答案：B
4．(2013·蚌埠质检)以下关于函数f(x)＝sin2x－cos2x的命题，正确的是( )
A．函数f(x)在区间上单调递增
B．直线x＝是函数y＝f(x)图像的一条对称轴
C．点是函数y＝f(x)图像的一个对称中心
D．将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位，可得到y＝sin2x的图像
解析：f(x)＝sin2x－cos2x＝sin，将f(x)的图像向左平移个单位为y＝sin2x，故选D.
答案：D
5．(2013·眉山诊断)若把函数y＝2cos＋1的图像向右平移m(m＞0)个单位长度，使点为其对称中心，则m的最小值是( )
A. B. C. D．π
解析：y＝2cos＋1的图像向右平移m(m＞0)个单位长度得到y＝2cos＋1，∵为其对称中心，∴＋－m＝kπ＋，k∈Z，∴m的最小值是.
答案：B
6．(2013·西工大附中训练)如图所示，为了得到g(x)＝sin2x的图像，则只需将f(x)的图像( )
A．向右平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向左平移个长度单位
解析：由图像可知A＝1，又＝－＝，∴ T＝π，从而ω＝＝2，将代入f(x)＝sin(2x＋φ)中，得sin＝－1，又|φ|＜，得φ＝，
∴f(x)＝sin.
将f(x)图像右移个长度单位即可得到g(x)＝sin2x的图像．
答案：A
二、填空题
7．若将函数y＝2sin(3x＋φ)的图像向右平移个单位后得到的图像关于点对称，则|φ|的最小值是______．
解析：将函数y＝2sin(3x＋φ)的图像向右平移个单位后得到2sin＝2sin的图像．
因为该函数的图像关于点对称，
所以2sin＝2sin＝0，
故有＋φ＝kπ(k∈Z)．
解得φ＝kπ－(k∈Z)．当k＝0时，|φ|取得最小值.
答案：
8．(2013·广东六校联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)在x＝取得最大值2，且函数f(x)的最小正周期为2π.现将函数y＝f(x)图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再把函数图像向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像，则g(x)＝__________.
解析：由函数f(x)的最小正周期为2π且ω＞0，可得2π＝，∴ω＝1.又函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)在x＝取得最大值2，则A＝2，且sin＝1，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝.故f(x)＝2sin.
将函数y＝f(x)图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的解析式为y＝2sin，又把函数y＝2sin的图像向右平移个单位，得到g(x)＝2sin，∴g(x)＝2sin.
答案：2sin
9．(2013·合肥八中质检)将函数f(x)＝2sin的图像向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图像关于直线x＝对称，则φ的最小正值为________．
解析：函数f(x)＝2sin的图像向右平移φ(φ＞0)个单位后变为f(x)＝2sin，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的倍后，得到f(x)＝2sin，其图像关于直线x＝对称，则4×＋－2φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝－(k∈Z)，当k＝0时，φ的最小正值为π.
答案：π
三、解答题
10．(2013·邹城二中期中)已知函数f(x)＝2cosx·cos－sin2x＋sinxcosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)把f(x)的图像向右平移m个单位后，在上是增函数，当|m|最小时，求m的值．
解析：(1)f(x)＝2cosxcos－sin2x＋sinxcosx
＝2cosx－sin2x＋sinxcosx
＝cos2x＋sinxcosx－sin2x＋sinxcosx
＝(cos2x－sin2x)＋2sinxcosx
＝cos2x＋sin2x＝2sin.
∴T＝＝π.
(2)令f(x)的图像向右平移m个单位后的函数为g(x)，则g(x)＝2sin，令－＋2kπ≤2x－2m＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得－＋m＋kπ≤x≤＋m＋kπ，k∈Z.
∴单调递增区间为，k∈Z，
周期为π，则－＋m＋kπ＝0，∴m＝－kπ，k∈Z，
当|m|最小时，m＝.
11．(2012·山东)已知向量m＝(sinx,1)，n＝(A＞0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.
(1)求A；
(2)将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像．求g(x)在上的值域．
解析：(1)f(x)＝m·n＝Asinxcosx＋cos2x
＝A
＝Asin.
因为A＞0，由题意知A＝6.
(2)由(1)知f(x)＝6sin.
将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位后得到
y＝6sin＝6sin的图像；
再将得到的图像上各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y＝6sin的图像．
因此g(x)＝6sin.
因为x∈，
所以4x＋∈.故g(x)在上的值域为[－3,6]．
12．(2013·西安调研)已知平面向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinθ，－cosθ)，其中0＜θ＜π，且函数f(x)＝(a·b)cosx＋(b·c)sinx的图像过点.
(1)求θ的值；
(2)将函数y＝f(x)图像上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求函数y＝g(x)在上的最大值和最小值．
解析：(1)a·b＝cosθcosx＋sinθsinx＝cos(θ－x)，
b·c＝cosxsinθ－sinxcosθ＝sin(θ－x)，
∴f(x)＝(a·b)cosx＋(b·c)sinx
＝cos(θ－x)cosx＋sin(θ－x)sinx
＝cos(θ－x－x)
＝cos(2x－θ)，
∴f＝cos＝1，而0＜θ＜π，∴θ＝.
(2)由(1)得，f(x)＝cos，
∴g(x)＝cos，
即g(x)＝cos.
当x∈时，－≤x－≤，
∴≤cos≤1，
∴当x＝0时，g(x)取得最小值，
当x＝时，g(x)取得最大值1.
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